¿Qué es la transformada de Laplace? Fórmula, propiedades, condiciones y aplicaciones

Las matemáticas desempeñan un papel decisivo en la comprensión del comportamiento y el funcionamiento de eléctrico e sistemas electrónicos. Los polinomios, el álgebra, la probabilidad, la integración y la diferenciación, etc., forman una parte importante de las herramientas utilizadas para resolver sistemas. Con la creciente complejidad de los sistemas, se necesitan métodos muy sofisticados. Las ecuaciones diferenciales se utilizan ampliamente para definir los sistemas de control. Estas ecuaciones son sencillas de resolver. Pero la complejidad surge al resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. Para resolver estas complejas ecuaciones diferenciales de orden superior, el método matemático que ha resultado eficaz es Transformación de Laplace. Como esta transformación se utiliza mucho, es útil saber para qué se utiliza y cómo funciona.


Índice de Contenido
  1. ¿Qué es una transformada de Laplace?
    1. Fórmula de la transformada de Laplace
    2. Condiciones de aplicabilidad de la transformada de Laplace
    3. Propiedades de la transformada de Laplace:
    4. ¿Cómo calcular la transformada de Laplace?
  2. Aplicaciones de la transformada de Laplace
    1. Aplicación de la transformada de Laplace en el procesamiento de señales
    2. Aplicación de la transformada de Laplace en los sistemas de control
    3. Caracterización de sistemas lineales invariantes en el tiempo mediante la transformada de Laplace

¿Qué es una transformada de Laplace?

En matemáticas, las transformaciones se aplican para transformar una variable de una forma a otra para que la ecuación sea más fácil de manejar. La transformada de Laplace hace prácticamente lo mismo. Transforma una ecuación diferencial de orden superior en una forma polinómica que es mucho más sencilla que resolver la ecuación diferencial directamente.

Pero hay diferentes transformaciones, como la transformada de Fourier y la transformada z. ¿Qué hace especial a la transformada de Laplace? La principal ventaja de la transformada de Laplace es que se define tanto para sistemas estables como inestables, mientras que la transformada de Fourier sólo se define para sistemas estables.

Fórmula de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f
La ecuación anterior se toma como un lado Ecuación de la transformación de Laplace. Cuando los límites se extienden a todo el eje real, entonces la ecuación de Transformada bilateral de Laplace puede definirse como
En circuitos prácticos como Circuitos RC y RL normalmente se utilizan condiciones iniciales, por lo que se aplica la transformada de Laplace unilateral para el análisis.
Como s= σ + jω, cuando σ = 0 la transformada de Laplace se comporta como la transformada de Fourier.

Fórmulas de la transformada de Laplace
Fórmulas de la transformada de Laplace

Condiciones de aplicabilidad de la transformada de Laplace

Las transformadas de Laplace se llaman transformadas integrales, por lo que existen condiciones necesarias para la convergencia de estas transformadas.

es decir, f debe ser localmente integrable para el intervalo[0, ∞]y, dependiendo de si σ es positivo o negativo, e^(-σt) puede ser decreciente o creciente. En las transformadas de Laplace de dos caras, en lugar de un único valor, la integral converge a un determinado intervalo de valores conocido como región de convergencia.

Propiedades de la transformada de Laplace:

Linealidad

Linealidad
Linealidad

Desplazamiento temporal

Desplazamiento temporal
Cambio de horario

Desplazamiento en el dominio S

Desplazamiento en el dominio S
Desplazamiento en el dominio S

Inversión del tiempo

Inversión del tiempo
Inversión del tiempo

Diferenciación en el dominio S

Diferenciación en el dominio S
Diferenciación en el dominio S

Convolución en el tiempo

Convolución en el tiempo
Convolución en el tiempo

Teorema del valor inicial

El teorema del valor inicial se aplica cuando en la transformación de Laplace el grado del numerador es menor que el grado del denominador

Teorema del valor final

Si todos los polos de sF(s) se encuentran en la mitad izquierda del plano S, se aplica el teorema del valor final.

Transformación inversa de Laplace

Debido a la característica de convergencia, la transformada de Laplace también tiene una transformada inversa. Las transformadas de Laplace presentan un mapeo uno a uno de un espacio de funciones a otro. La fórmula de la transformada inversa de Laplace es

¿Cómo calcular la transformada de Laplace?

La transformada de Laplace facilita el manejo de las ecuaciones. Cuando se da una ecuación diferencial de orden superior, se aplica la transformada de Laplace, que convierte la ecuación en una ecuación algebraica, lo que facilita su manejo. Las raíces se calculan entonces simplificando esta ecuación algebraica. En este punto, se encuentra la transformada inversa de Laplace de la expresión más sencilla, que resuelve la ecuación diferencial de orden superior.

Cálculo de la transformada de Laplace
Cálculo de la transformada de Laplace

Aplicaciones de la transformada de Laplace

  • Análisis de sistemas eléctricos y circuitos electrónicos.
  • Descomposición de ecuaciones diferenciales complejas en formas polinómicas más sencillas.
  • La transformada de Laplace proporciona información sobre los estados estacionarios y transitorios.
  • En el aprendizaje automático, la transformada de Laplace se utiliza para hacer predicciones y análisis en la minería de datos.
  • La transformada de Laplace simplifica los cálculos en la modelización de sistemas.

Aplicación de la transformada de Laplace en el procesamiento de señales

Las transformadas de Laplace se utilizan a menudo en el procesamiento de señales. Junto con la transformada de Fourier, la Transformación de Laplace se utiliza para estudiar las señales en el dominio de la frecuencia. Cuando hay frecuencias pequeñas en la señal en el dominio de la frecuencia, cabe esperar que la señal sea homogénea en el dominio del tiempo. El filtrado de una señal suele realizarse en el dominio de la frecuencia y Laplace es una herramienta importante para convertir una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

Aplicación de la transformada de Laplace en los sistemas de control

Los sistemas de control suelen estar diseñados para controlar el comportamiento de otros dispositivos. Ejemplo de sistemas de control puede ir desde un simple controlador de calefacción doméstica hasta un sistema de control industrial que regule el comportamiento de la maquinaria.

Normalmente, los ingenieros de control utilizan ecuaciones diferenciales para describir el comportamiento de varios bloques funcionales de bucle cerrado. La transformada de Laplace se utiliza para resolver estas ecuaciones sin perder la información crucial de las variables.

Caracterización de sistemas lineales invariantes en el tiempo mediante la transformada de Laplace

Para un sistema aleatorio el ROC asociado al sistema, la función es el semiplano derecho. Un sistema es antirreglamentario si su respuesta al impulso h

Si la ROC de las funciones del sistema H(s) incluye el eje jω, se dice que la L.T.I. del sistema es estable. Si un sistema aleatorio con funciones de sistema racionales H(s) tiene partes reales negativas para todos sus polos, entonces el sistema es estable.

La transformada de Laplace es, pues, una herramienta fundamental para el análisis de circuitos. Podemos decir que, como el estetoscopio es para el médico, la transformada de Laplace es para el ingeniero de control. ¿Cómo se considera la transformada de Laplace? ¿Cómo te han sido útiles?

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