Propiedades de la convolución en tiempo discreto | señal de tiempo discreto

solución de tiempo discreto

La convolución es una herramienta tan eficaz que se puede utilizar para determinar la salida de un sistema de variable de tiempo lineal (LTI) a partir de la entrada y el conocimiento de la respuesta al impulso.

Se dan dos señales de tiempo discreto x[n] yh[n]la convolución está definida por

queda $x[ n right]*hizquierda[ n right]=yizquierda[ n right]=sumlimits_{i=-infty }^{infty}{{}}x izquierda[ i right]izquierda[ n-i right]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ izquierda( 1 derecha)$

La suma de la derecha se llama suma de convolución.

Cabe señalar que la suma de conflicto existe cuando ax[n] yh[n] cualquier entero n<0 tiene ambos ceros.

seis personas[n] yh[n] cero para cualquier entero n<0, entonces x[i]=0 para cualquier entero i<0 y h[n-i] =0 para cualquier entero ni<0 (o n

[xleft[ n right]*hizquierda[ n right]=dejar{ begin{matriz} begin{matriz}begin{matriz}0, & {} & {} end{matriz} & n=-1,-2,ldots end {matriz} begin{matriz}sumlimits_{i=0}^{n}{xleft[ i right]izquierda[ n-i right]} & {} & {} & n=0,1,2, ldots end{matriz} end{matriz} correct.text{ (2)}]

Dado que la suma en (2) está sobre un rango finito de números enteros (i = 0 a i = n), la suma es convolucional. Por lo tanto, se pueden sumar dos signos cualesquiera que sean cero para cada número entero n<0.

Para calcular la convolución (1) o (2).

1. Primero, cambie el índice de tiempo discreto n a ii signos x[n] yh[n].
2. Señales de retorno h[i] obtener h[-i] (esto se llama plegado).
3. Para cada índice de salida n, cambie por n para encontrar ha[n-i] .(Un valor positivo de n da un desplazamiento a la derecha.)
4. el producto es x[n]* h[n] listo y ahi[n] calculado sumando los valores xa[i]* h[n-i] mientras atravieso la serie de enteros.

Un ejemplo de convolución en tiempo discreto.

Añadir x[n]= ninguno^nocontigo[n] yh[n]= uno^nocontigo[n] Dónde estás[n] es una función escalón unitario de tiempo discreto y a y b son números reales fijos distintos de cero.

Paso 1:

Cambie el índice de señal de tiempo discreto n a i en ambas señales:

queda $x[ i right]={{a}^{i}}uizquierda[ i right]ps

$h izquierda[ i right]={{b}^{i}}uizquierda[ i right]ps

2do paso:

Volver h[i] obtener h[-i]:

$h izquierda[ -i right]={{b}^{-i}}uizquierda[ -i right]ps

Paso 3:

Cambiar por obtener h[n-i]:

$h izquierda[ n-i right]={{b}^{ni}}uizquierda[ n-i right]ps

Paso 4:

Consíguelo allí[n] sumando el producto x[i]h[n-i] en un rango limitado de i:

$yizquierda[ n right]=sumlimits_{i=-infty }^{infty}{{}}x izquierda[ i right]izquierda[ n-i right]~~~~~~~~~izquierda( 3 derecha)$

seis personas[n] cero para cualquier entero n<0, entonces x[i]=0 para cualquier entero i<0, por lo tanto

izquierda $u[ i right]=dejar{ begin{matriz}begin{matriz} 1 & ige 0 end{matriz} begin{matriz} 0&i<0 end{matriz} end{ matriz} derecho.$

Asimismo, si h[n] cero para cualquier entero n<0, entonces h[n-i]=0 para cualquier entero ni<0 (o n

izquierda $u[ n-i right]=dejar{ begin{matriz}begin{matriz}1 & ile n end{matriz} begin{matriz}0&i>n end{matriz} end{ matriz} derecho.$

Por lo tanto, la suma sobre ii (3) se puede tomar de i=0 a i=n y es,

$yizquierda[ n right]=sumlimits_{i=0}^{n}{{}}x izquierda[ i right]izquierda[ n-i right]ps

$yizquierda[ n right]=sumlimits_{i=0}^{n}{{}}{{a}^{i}}{{b}^{ni}}$

[yleft[ n right]={{b}^{n}}sumlimits_{i=0}^{n}{{}}{{left( frac{a}{b} right)}^{i}} ]

Si a=b,

$yizquierda[ n right]={{b}^{n}}sumlimits_{i=0}^{n}{{}}{{left( 1 right)}^{i}}$

Si a≠b, la relación matemática estándar da

$sumlimits_{i=0}^{N-1}{{}}{{left( r right)}^{i}}=frac{1-{{clé( r right) }^{N}}}{1-r}~~~~~~~rne 1$

Mientras,

$yizquierda[ n right]=dejar{ begin{matriz}begin{matriz}n+1 & ~~~~~~~~~~~~~~ a=b end{matriz} begin {matriz} frac{1-{{left( {}^{a}/{}_{b} right)}^{n+1}}}{1-left( {}^{a} /{} _ {b} right)} & ane b end{matriz} end{matriz} right.$

Propiedades de la convolución en tiempo discreto

La operación de convolución satisface varias propiedades útiles que se dan a continuación:

propiedad recíproca

seis personas[n] es signo y h[n] Por lo tanto, es una respuesta impulsiva.

Propiedad asociativa

seis personas[n] es signo y h₁[n] y h2[n] por lo tanto, son respuestas impulsivas

Propiedad de distribución

seis personas[n] es signo y h₁[n] y h2[n] por lo tanto, son respuestas impulsivas

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