Inducción mutua y autoinducción | fórmula y ejemplo

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La inducción electromagnética ocurre cuando un flujo magnético que se mueve en relación con un solo conductor o bobina induce una fuerza electromagnética en el conductor o bobina. Dado que un aumento o una disminución de la corriente a través de una bobina genera un flujo cambiante, se induce una fuerza electromotriz en la bobina por su propio cambio de corriente. El mismo efecto puede inducir una fem en una bobina adyacente. El nivel de la fem inducida en cada caso depende de la autoinductancia de la bobina o de la inductancia mutua entre las dos bobinas. En cada caso, la polaridad de la fem inducida es tal que se opone al cambio fundamental causado por la fem.

Los componentes llamados inductores o estranguladores se construyen para tener valores de inductancia específicos. Los inductores pueden operar en serie o en paralelo. Incluso el conductor más corto tiene inductancia. Esto suele ser una cantidad indeseable y se llama inductancia parásita.

Autoinducción

Inductancia de bobina y conductor

Se ha demostrado que se induce una fuerza electromotriz en un conductor que se mueve en un campo magnético y que un aumento de corriente en una bobina puede inducir una fuerza electromotriz en otra bobina acoplada magnéticamente. Una bobina también puede inducir un voltaje en sí misma cuando cambia su nivel de corriente. Este fenómeno se denomina autoinducción y el principio se ilustra en la Figura 1.

Fig.1: La bobina portadora de corriente y su sección transversal

El creciente flujo magnético hacia afuera alrededor de la vuelta de una bobina cruza (o roza) la otra bobina gira e induce una fuerza electromotriz en la bobina.

En la Figura 1 se muestra una bobina y su sección transversal, con puntas de flecha y puntos que indican la dirección de la corriente en cada vuelta. Cada vuelta de la bobina está rodeada por un flujo que produce la corriente que fluye en la bobina. Sin embargo, por conveniencia, el diagrama muestra el crecimiento del flujo alrededor de una vuelta de la bobina. Vemos que a medida que aumenta la corriente, el flujo se extiende y cruza (o toca) las otras vueltas. Esto crea una inducción de corrientes en las otras espiras, y la dirección de las corrientes inducidas es tal que establecen un flujo que se opone al flujo que las transmite.

Recordando que la corriente que pasa por la bobina aumenta el flujo alrededor de todas las vueltas simultáneamente, vemos que el flujo de cada vuelta absorbe una corriente opuesta en todas las demás vueltas.

Para establecer corrientes opuestas, la corriente transmitida en una bobina debe oponerse a la corriente que fluye a través de la bobina desde la fuente de alimentación externa. Por supuesto, la corriente inducida es el resultado de una fuerza electromotriz. Por lo tanto, se ve que la autoinductancia de una bobina crea una fem inducida que se opone a la fem externa que impulsa la corriente a través de la bobina. Como esta fem inducida está en contra de la tensión de alimentación, se denomina contra-emf o back-emf. Back emf solo ocurre cuando la corriente de la bobina aumenta o disminuye. Cuando la corriente ha alcanzado un nivel constante, el flujo ya no cambia y no se genera back-emf.

Incluso un solo conductor tiene autoinducción. La figura 2 muestra que a medida que aumenta la corriente en un conductor, un flujo puede crecer alejándose del centro del conductor. Este flujo corta otras partes del conductor e induce una fuerza contraria.

figura 2 sección del conductor

Fig.2: sección del conductor

El crecimiento de corriente en un conductor induce fem en otras partes del conductor.

La figura 3 muestra la polaridad de la fuerza contraelectromotriz inducida en una bobina para una polaridad de tensión de alimentación determinada. En la figura 3(a), el interruptor está cerrado y la corriente I comienza a aumentar desde cero. La polaridad de la fuerza contraelectromotriz (eL) que se opone al crecimiento de I, y por tanto está en oposición serie con la tensión de alimentación. Cuando el interruptor está abierto (Figura 3(b)), la corriente generalmente cae a cero. Pero ahora la polaridad miL de manera que se opone a la caída de I. está en serie auxiliar con la tensión de alimentación. Por ciertoL Se pueden producir arcos en los terminales del interruptor, ya que depende de la inductancia de la bobina.

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figura 3 polaridad fem

Fig.3: Polaridad de la fuerza electromotriz inducida

La fuerza contraelectromotriz inducida en una bobina siempre se opone al aumento o disminución de la corriente.

La unidad SI de inductancia es el Henry (H).

La inductancia de un circuito es de un henry cuando se induce una fem de 1 V cuando la corriente cambia a razón de 1 A/s.

Entonces, la relación entre la inductancia, el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente es:

[begin{matrix}   L=frac{{{e}_{L}}}{{Delta i}/{Delta t};} & {} & left( 1 right)  end{matrix}]

Donde L es la inductancia en Henry, eL es la fuerza contraelectromotriz inducida en voltios y es la tasa de cambio de la corriente en A/s. a veces se incluye un signo negativo delante de eL Demuestre que la fem inducida es opuesta a la fem aplicada. cuando tL=1V y =1A/s, L=1H. Si la tasa de cambio actual es de 2 A/s y eL= 1V, la inductancia es 0,5H.

Una bobina construida para tener cierta inductancia generalmente se denomina inductor o estrangulador. Tenga en cuenta los símbolos gráficos para un inductor que se muestra en la Figura 3.

Fórmula de autoinducción

Se puede derivar una expresión para la inductancia involucrando las dimensiones de la bobina y el número de vueltas [see figure 4].

figura 4 bobina de espín

Fig.4: Número de vueltas en una bobina

La inductancia de una bobina depende del número de vueltas y de los cambios de flujo y corriente.

De la ecuación (2):

[begin{matrix}   {{e}_{L}}=Nfrac{Delta phi }{Delta t} & {} & left( 2 right)  end{matrix}]

Reemplazo electrónicoL en la ecuación (1) da

[L=Nfrac{{Delta phi }/{Delta t};}{{Delta i}/{Delta t};}]

O

[begin{matrix}   L=Nfrac{Delta phi }{Delta i} & {} & left( 3 right)  end{matrix}]

También,

[phi =Btimes A]

Y

$B={{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times H={{mu }_{o}}times {{mu }_{r} }timesfrac{IN}{l}$

Por lo tanto,

$phi ={{mu }_{o}}hora {{mu }_{r}}hora ENhoras frac{A}{l}$

Dado que I es un nivel de corriente máximo, también representa el cambio de corriente (∆i) de cero al nivel máximo. Por lo tanto, el cambio es flujo.

$Delta phi ={{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times Delta ytimes Ntimes frac{A}{l}$

Sustituyendo ∆ϕ en la ecuación (3) da

[L=frac{left( {{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times Delta itimes Ntimes {}^{A}/{}_{l} right)times N}{Delta i}]

O

[begin{matrix}   L={{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times {{N}^{2}}times {}^{A}/{}_{l} & {} & left( 4 right)  end{matrix}]

Tenga en cuenta que, como se muestra en la Figura 5, la inductancia es proporcional a la sección transversal de una bobina y al cuadrado del número de vueltas. También es inversamente proporcional a la longitud de la bobina. Por lo tanto, la máxima inductancia se obtiene con una bobina corta con una gran sección transversal y un gran número de vueltas.

figura 5 dimensiones de la bobina

Fig.5: Dimensiones de la bobina

La inductancia de la bobina se puede calcular a partir de sus dimensiones y la permeabilidad del núcleo.

La ecuación (4) ahora permite calcular la inductancia de una bobina de dimensiones conocidas. Alternativamente, se puede usar para determinar las dimensiones requeridas para la inductancia dada de una bobina. Sin embargo, no es tan fácil de aplicar a bobinas con núcleo de hierro, porque la permeabilidad del material ferromagnético cambia cuando cambia la densidad de flujo. Por lo tanto, la inductancia de una bobina con núcleo de hierro cambia continuamente a medida que aumenta y disminuye la corriente de la bobina.

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Bobina no inductiva

En muchos casos, se requiere que la bobina no sea inductiva; por ejemplo, las resistencias de precisión suelen ser no inductivas. Para construir una bobina de este tipo, el devanado consta de dos conductores uno al lado del otro, como se muestra en la Figura 6. Cada espira de la bobina tiene una espira adyacente que transporta corriente en la dirección opuesta. Los campos magnéticos generados por espines adyacentes se anulan entre sí. Por lo tanto, no se genera back-emf y la bobina no es inductiva.

figura 6 bobina no inductiva

Fig.6: Bobina no inductiva

Un ejemplo de autoinducción

Tiene un flujo total de 1.33 X 10 en Solenoide de 900 vueltas– Siete Wb a través de su núcleo de aire cuando la corriente de la bobina es de 100 mA. Si el flujo tarda 75 ms en pasar de cero a su nivel máximo, calcule la inductancia de la bobina. Determine también la fuerza contraelectromotriz inducida en la bobina durante el crecimiento del flujo.

La solución

$begin{align} & Delta phi =1.33times {{10}^{-7}}Wb & Delta i=100mA & Delta t=75ms end{align}$

Ecuación (3):

[L=Nfrac{Delta phi }{Delta i}=900frac{1.33times {{10}^{-7}}}{100times {{10}^{-3}}}=1.2mH]

De la ecuación (2)

[{{e}_{L}}=Nfrac{Delta phi }{Delta t}=900frac{1.33times {{10}^{-7}}}{75times {{10}^{-3}}}=1.6mV]

inducción mutua

Cuando el flujo de una bobina cruza otra bobina adyacente (o bobina acoplada magnéticamente), se induce una fuerza electromotriz en la segunda bobina. De acuerdo con la ley de Lenz, la fem inducida en la segunda bobina crea un flujo que se opone al flujo original de la primera bobina. Entonces, la fem inductiva es nuevamente una contra fem, y en este caso el efecto inductivo se llama inductancia mutua. La figura 7 muestra los símbolos gráficos utilizados para las bobinas de inductancia mutua, también conocidas como bobinas acopladas.

bobina de aire figura 7

figura 7 b bobina de núcleo de hierro

Fig.7: Símbolos gráficos para bobinas con núcleo de aire y hierro

Al igual que la autoinducción, la inductancia mutua se mide i Enrique (M).

fórmula de inducción mutua

Dos bobinas tienen una inductancia mutua de 1H cuando se induce una fuerza electromotriz de 1V en una bobina al cambiar la corriente a razón de 1 A/s en la otra bobina.

Esta definición da lugar a la ecuación que relaciona la inductancia mutua con el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente:

[begin{matrix}   M=frac{{{e}_{L}}}{{Delta i}/{Delta t};} & {} & left( 5 right)  end{matrix}]

Donde M es la inductancia mutua en Henry, eL es la fem en voltios inducida en la bobina secundaria y si la tasa de cambio de corriente en la bobina primaria en A/s.

La bobina a través de la cual pasa la corriente de una fuente externa se denomina bobina primaria, y la bobina en la que se induce una fuerza electromotriz se denomina bobina secundaria.

Una ecuación para la fem inducida en la bobina secundaria se puede escribir como:

[begin{matrix}   {{e}_{L}}={{N}_{s}}frac{Delta phi }{Delta t} & {} & left( 6 right)  end{matrix}]

Aquí ∆ϕ es el cambio total en el flujo asociado con el devanado secundario, Ns es el número de vueltas en el devanado secundario y ∆t es el tiempo requerido para el cambio de flujo.

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Reemplazo electrónicoL de la ecuación (6) a la ecuación (5) da

[M={{N}_{s}}frac{{Delta phi }/{Delta t};}{{Delta i}/{Delta t};}]

Por lo tanto,

[begin{matrix}   M={{N}_{s}}frac{Delta phi }{Delta i} & {} & left( 7 right)  end{matrix}]

La Figura 8(a) muestra que cuando ambas bobinas están enrolladas en un solo núcleo ferromagnético, efectivamente todo el flujo generado por la bobina primaria se conecta a la bobina secundaria. Sin embargo, cuando las bobinas están centradas en el aire, solo una parte del flujo del primario puede conectarse al secundario. [see figure 8 (b)]. Según la cantidad de flujo primario que cruza el secundario, las bobinas se pueden clasificar como débilmente acopladas o fuertemente acopladas. En la Figura 8(c) se muestra una forma de garantizar un acoplamiento firme, donde cada vuelta del devanado secundario está al lado de una vuelta del devanado primario. Se dice que las bobinas enrolladas de esta manera son bifilares.

Figura 8 Interconexión de flujo en bobinas primarias y secundarias

Figura 8 Conexión de flujo en bobinas primaria y secundaria 2

Fig.8: Conexiones de flujo en las bobinas primaria y secundaria

La cantidad de flujo de un devanado primario a un secundario depende del grado de acoplamiento de las bobinas. El coeficiente de acoplamiento define la conexión.

La cantidad de flujo que conecta el primario con el secundario también se define en términos del coeficiente de acoplamiento, k. Si todo el flujo primario se conecta al secundario, el coeficiente de acoplamiento es 1. Cuando solo el 50 % del flujo primario se conecta al devanado secundario, el coeficiente de acoplamiento es 0,5. Asi que,

[k=frac{fluxtext{ }linkagestext{ }betweentext{ }primarytext{ }andtext{ }sec ondary}{totaltext{ }fluxproducedtext{ }bytext{ }primary}]

Volvamos a la ecuación (7). Cuando ∆ϕ es el cambio de flujo total en la bobina primaria, k∆ϕ es el flujo que conecta la secundaria. Por lo tanto, la ecuación para M es

[begin{matrix}   M=k{{N}_{s}}frac{Delta phi }{Delta i} & {} & left( 8 right)  end{matrix}]

Además, sustituyendo $Delta phi ={{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times Delta itimes Ntimes frac{ A}{l} $ en la ecuación (8) da

[M=frac{k{{N}_{s}}}{Delta i}times{{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times Delta itimes {{N}_{p}}times frac{A}{l}]

O

[begin{matrix}   M=ktimes {{N}_{p}}times {{N}_{s}}times {{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times frac{A}{l} & {} & left( 9 right)  end{matrix}]

Cada devanado considerado individualmente tiene una autoinducción que se puede calcular a partir de la ecuación (4). Así, para la bobina primaria,

${{L}_{1}}=N_{p}^{2}times {{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times frac{A} {l}$

y para secundaria

${{L}_{2}}=N_{s}^{2}times {{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times frac{A} {l}$

Suponiendo que ambos devanados tienen un núcleo común (magnético o no magnético como en la Figura 9), la única diferencia está en la expresión de L.1 y yo mismo2 Es el número de giros.

figura 9 dos devanados en el mismo núcleo

Fig.9: Dos devanados en el mismo núcleo

Por lo tanto,

${{L}_{1}}times {{L}_{2}}=N_{p}^{2}times N_{p}^{2}times {{left({{ ) mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times frac{A}{l} right)}^{2}}$

O

[begin{matrix}   sqrt{{{L}_{1}}times {{L}_{2}}}={{N}_{p}}times {{N}_{s}}times {{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times frac{A}{l} & {} & left( 10 right)  end{matrix}]

Al comparar las ecuaciones 9 y 10, vemos,

[begin{matrix}   M=ksqrt{{{L}_{1}}times {{L}_{2}}} & {} & left( 11 right)  end{matrix}]

Un ejemplo de inducción mutua

Dos bobinas idénticas están enrolladas en un núcleo de hierro en forma de anillo que tiene una permeabilidad relativa de 500. Cada bobina tiene 100 vueltas y las dimensiones del núcleo son: área de la sección transversal A=3 cm2 y la longitud del camino magnético l=20cm. calcule la inductancia de cada bobina y la inductancia mutua entre las bobinas.

La solución

De la ecuación (4):

[begin{align}  & {{L}_{1}}={{L}_{2}}={{N}^{2}}times {{mu }_{o}}times {{mu }_{r}}times frac{A}{l}  & ={{100}^{2}}times 500times 4pi times {{10}^{-7}}times frac{3times {{10}^{-4}}}{20times {{10}^{-2}}}cong 9.42mH end{align}]

Como las bobinas están enrolladas en el mismo núcleo de hierro, k=1. Ecuación (11):

$M=ksqrt{{{L}_{1}}times {{L}_{2}}}=sqrt{9.42times 9.42}=9.42mH$

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