Impedancia serie y paralelo

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Tanto la resistencia como la impedancia se oponen al flujo de electricidad. Sin embargo, la resistencia resiste tanto la corriente continua como la alterna, mientras que el componente de reactancia de la resistencia solo resiste el cambio de corriente. Los cálculos para circuitos de CC se pueden realizar con cantidades escalares y álgebra ordinaria. Pero la impedancia es una cantidad fasorial en los circuitos de CA, por lo que los cálculos para las redes de impedancia se basan en el álgebra fasorial.

Con el álgebra escalonada, todas las relaciones de las redes de resistencia también se aplican a las redes de barrera.

Prohibición de la serie.

En cualquier instante dado, la relación del circuito i Figura 1(a) que es exactamente lo mismo que en un circuito de corriente continua donde prevalecen los voltajes y las corrientes en ese instante. Por lo tanto, Ley de voltaje de Kirchhoff dado

[e={{v}_{T}}={{v}_{R}}+{{v}_{L}}]

Extendiendo la ley de voltaje de Kirchhoff al interés más útil valores RMS para los parámetros del circuito de CA, tenemos que usar cantidades fasoriales. Entonces, la relación de la ley de voltaje de Kirchhoff para Figura 1(a) Se puede escribir como

${{text{E}_{text{T}}}text{=}{{text{V}}_{text{R}}}text{+}{{text{ V }_{texto{L}}}$

Cada término en esta ecuación es un fasor, y la suma debe hacerse con álgebra fasorial.

La ley de voltaje de Kirchhoff se aplicó a un circuito de CA

Figura 1 La ley de voltaje de Kirchhoff se aplicó a un circuito de CA

Podemos aplicar la forma fasorial de la ley de voltaje de Kirchhoff a la circuito en serie de Figura 1(b):

[begin{matrix}text{E=}{{text{V}}_{text{T}}}text{=}{{text{V}}_{text{1}}}text{+}{{text{V}}_{text{2}}}text{+}{{text{V}}_{text{3}}} & {} & left( 1 right) end{matrix}]

Al dividir cada término en Ecuación 1 La corriente común en el circuito en serie da

[frac{{{text{V}}_{text{T}}}}{text{I}}text{=}frac{{{text{V}}_{text{1}}}}{text{I}}text{+}frac{{{text{V}}_{text{2}}}}{text{I}}text{+}frac{{{text{V}}_{text{3}}}}{text{I}}]

Por definición, Z = V/I. Por lo tanto,

$begin{matriz}{{text{Z}}_{text{T}}}text{=}{{text{Z}}_{text{1}}text{+} { {text{Z}}_{text{2}}}text{+}{{text{Z}}_{text{3}}} & {} & left( 2 right) end{matriz}$

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La impedancia total de las impedancias en serie es su suma fasorial. Esta relación se puede extender a cualquier número de barreras en serie:

Ejemplo 1

Encuentra la obstrucción total cuando ${{Z}_{1}}=60ángulo +{{60}^{o}}Omegatext{ y {{Z}_{2}}=80ángulo – {{45}^{o}}Omega $ está conectado en serie. Da la respuesta en forma polar.

La solución

Paso 1

Dibuje un diagrama de circuito y dibuje un diagrama de impedancia para mostrar la aproximación completa como se muestra i Figura 2.

2do grado

Convierta las barreras a forma rectangular y agregue los componentes:

[begin{align}& {{Z}_{1}}=60cos {{60}^{o}}+j60cos {{60}^{o}}=30+j52 & {{Z}_{2}}=80cos {{45}^{o}}-j80sin {{45}^{o}}=56.6-j56.62 & {{Z}_{T}}={{Z}_{1}}+{{Z}_{2}}=86.6-j4.6 end{align}]

Prohibición de la serie.

Figura 2 Prohibición de la serie.

Paso 3

Convierta la impedancia total a forma polar:

[begin{align}& phi ={{tan }^{-1}}frac{-4.6}{86.6}=-{{3}^{o}} & Z=frac{86.6}{cos left( -{{3}^{o}} right)}=86.7Omega & Z=87angle -{{3}^{o}}Omega end{align}]

Ejemplo 1a

Encuentre la impedancia total cuando ${{Z}_{1}}=10000+j15000Omega text{ , }{{Z}_{2}}=47000+j0Omega text{ y } {{ Z} _ {3}}=25,000-j10,000Omega $ están conectados en serie.

La solución

Suma las coordenadas rectangulares.

[begin{align}& {{Z}_{1}}=10,000+j15,000 & {{Z}_{2}}=4700+j0 & {{Z}_{3}}=25,000-j10,000 & {{Z}_{T}}=39,700+j5000Omega end{align}]

Puede conducir a una solución simple. Ejemplo 1a este obstáculo debe expresarse siempre en coordenadas rectangulares. Sin embargo, las coordenadas rectangulares de impedancia representan resistencia y reactancia en serie. Por lo tanto, el proceso de suma en el ejemplo 1a solo se aplica a impedancias en serie.

Ahora podemos extender el principio del divisor de voltaje a las impedancias en serie. Con cantidades de fasores, podemos escribir la siguiente expresión:

[begin{matrix}{{V}_{n}}=Efrac{{{Z}_{n}}}{{{Z}_{T}}} & {} & left( 3 right) end{matrix}]

Ejemplo 2

Encuentre la caída de voltaje en Z1 en el circuito de Figura 2(a) donde el voltaje aplicado es $120angle {{0}^{o}}$.

La solución

Paso 1

Usar Ley de Ohm con Zj como se determina en Ejemplo 1:

[begin{align}& I=frac{E}{{{Z}_{T}}}=frac{120angle {{0}^{o}}V}{86.7angle -{{3}^{o}}Omega }=1.38angle +{{3}^{o}}A & {{V}_{1}}=I{{Z}_{1}}=1.38angle +{{3}^{o}}times 60angle +{{60}^{o}}=83angle +{{63}^{o}}V end{align}]

impedancias paralelas

Al igual que con los circuitos de CC en paralelo, podemos analizar circuitos de corriente alterna en paralelo teniendo en cuenta la capacidad del circuito para conducir corriente. Hay dos conjuntos de parámetros proporcionales a la capacidad de un circuito para transportar corriente:

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• Total de todas las corrientes de rama

• Total de todas las entradas de sucursales

Resultado de imagen para impedancia en paralelo

Para ramas paralelas en un circuito de CA, Ley de corriente de Kirchhoff dado

[begin{matrix}{{text{I}}_{text{T}}}text{=}{{text{I}}_{text{1}}}text{+}{{text{I}}_{text{2}}}text{+}{{text{I}}_{text{3}}}+cdots & {} & left( 4 right) end{matrix}]

Al dividir cada término en ecuación 4 en el voltaje común a las ramas paralelas Da

[frac{{{I}_{T}}}{V}=frac{{{I}_{1}}}{V}+frac{{{I}_{2}}}{V}+frac{{{I}_{3}}}{V}+cdots ]

Dado que la admitancia se define como Y = 1/Z,

$begin{matriz}{{Y}_{T}}={{Y}_{1}}+{{Y}_{2}}+{{Y}_{3}}+cdots &{ } & left( 5 right) end{matriz}$

La admitancia total de las ramas paralelas es igual a la suma vectorial de las admitancias de las ramas.

La impedancia equivalente de un circuito de CA en paralelo se puede determinar de dos maneras: por el método de corriente total (a partir de ecuación 4),

[begin{matrix}{{text{Z}}_{text{eq}}}text{=}frac{text{E}}{{{text{I}}_{text{T}}}} & {} & left( 6 right) end{matrix}]

Y a través del método de entrada completa (de Ecuación 5)

[begin{matrix}{{text{Z}}_{text{eq}}}text{=}frac{1}{{{text{Y}}_{text{T}}}} & {} & left( 7 right) end{matrix}]

En el caso particular de dos ramas en paralelo,

[{{Y}_{T}}={{Y}_{1}}+{{Y}_{2}}=frac{1}{{{Z}_{1}}}+frac{1}{{{Z}_{2}}}=frac{{{Z}_{2}}-{{Z}_{1}}}{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}}]

La inversión de esta ecuación da

[begin{matrix}{{Z}_{eq}}=frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}}{{{Z}_{2}}+{{Z}_{1}}} & {} & left( 8 right) end{matrix}]

Ejemplo 3

Encuentra la impedancia equivalente para ${{Z}_{1}}=60angle +{{60}^{o}}Omegatext{ y {{Z}_{2}}=80angle – { {45}^{o}}Omega $ conectados en serie.

La solución

Paso 1

Dibuja un diagrama esquemático y un diagrama de corriente de un fasor, como i imagen 3.

imagen 3 Método de corriente total para el ejemplo 3

2do grado

Suponga que el voltaje aplicado tiene un valor práctico, como E = 240 ∠ 0° V. Luego encuentre las corrientes de derivación:

[begin{align}& {{text{I}}_{text{1}}}text{=}frac{text{E}}{{{text{Z}}_{text{1}}}}=frac{240angle {{0}^{o}}V}{60angle +{{60}^{o}}Omega }=4.0angle -{{60}^{o}}A & {{text{I}}_{text{2}}}text{=}frac{text{E}}{{{text{Z}}_{text{2}}}}=frac{240angle {{0}^{o}}V}{80angle -{{45}^{o}}Omega }=3.0angle +{{45}^{o}}A end{align}]

Paso 3

Convierta las corrientes de rama a una forma rectangular y agregue los componentes:

[begin{align}& {{text{I}}_{text{1}}}=4cos {{60}^{o}}-j60sin {{60}^{o}}=2-j3.464 & {{text{I}}_{text{2}}}=3cos {{45}^{o}}+j3sin {{45}^{o}}=2.121+j52.121 & {{text{I}}_{text{T}}}text{=}{{text{I}}_{text{1}}}text{+}{{text{I}}_{text{2}}}=4.121-j1.343A end{align}]

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Paso 4

Convierta la corriente total a forma polar:

$begin{align}& phi ={{tan }^{-1}}frac{-1.343}{4.121}=-{{18}^{o}} & {{I}_{ T}}=frac{4.121}{cos left( -{{18}^{o}} right)}=4.334A & {{I}_{T}}=4.334angle -{ {18}^{o}}A extremo{align}$

Paso 5

Utilice la corriente total para calcular la impedancia equivalente:

[{{Z}_{eq}}=frac{E}{{{I}_{T}}}=frac{240angle {{0}^{o}}V}{4.334angle -{{18}^{o}}A}=55angle +{{18}^{o}}]

Dado que las ramas paralelas parecen tener el mismo voltaje, podemos principio del divisor de corriente para circuitos alternos de la relación:

[text{V =}{{text{I}}_{text{1}}}{{text{Z}}_{text{1}}}text{=}{{text{I}}_{text{2}}}{{text{Z}}_{text{2}}}]

[begin{matrix}frac{{{I}_{1}}}{{{I}_{2}}}=frac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{1}}} & {} & left( 9 right) end{matrix}]

Por lo tanto, la relación de las corrientes en cualquiera de las dos ramas paralelas de un circuito de CA es la inversa de la relación de las impedancias de las dos ramas. Sin embargo, es más conveniente expresar el principio del divisor de corriente en términos de entradas de rama. Ya que,

[text{V=}frac{{{text{I}}_{text{n}}}}{{{text{Y}}_{text{n}}}}text{=}frac{{{text{I}}_{text{T}}}}{{{text{Y}}_{text{T}}}}]

[begin{matrix}{{I}_{n}}={{I}_{T}}frac{{{Y}_{n}}}{{{Y}_{T}}} & {} & left( 10 right) end{matrix}]

Al igual que con los circuitos de CC, el divisor de corriente ecuación 10 el divisor de voltaje es dual ecuación 3. Cuando solo hay dos ramas paralelas, podemos usar la ecuación 8 para reemplazar 1/Yj en ecuación 10:

[begin{matrix}{{I}_{1}}={{I}_{T}}frac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{1}}+{{Z}_{2}}} & {} & left( 11 right) end{matrix}]

Ejemplo 4

¿Qué corriente extrae una carga de 10∠-45 kΩ del Fuente idéntica a Norton se muestra en la Figura 4?

Figura 4 Ilustraciones Ejemplo 4

Usando el principio del divisor de corriente

Paso 1

$begin{align}& {{Y}_{L}}=frac{1}{{{Z}_{L}}}=frac{1}{10angle -{{45}^{ o}}kOmega }=100ángulo +{{45}^{o}}mu S=70.71+j70.71mu S & {{Y}_{N}}=frac{1 } {{{Z}_{N}}}=frac{1}{5ángulo +{{30}^{o}}kOmega }=200ángulo -{{30}^{o}} mu S=173.2-j100mu S & {{Y}_{T}}=243.91-j29.29mu S=245.7angle -{{6.85}^{o}}mu S fin{alinear}$

2do grado

Apagado ecuación 10,

[{{text{I}}_{text{L}}}text{=}{{text{I}}_{text{T}}}frac{{{text{Y}}_{text{L}}}}{{{text{Y}}_{text{T}}}}=50angle -{{30}^{o}}mAtimes frac{100angle +{{45}^{o}}mu S}{245.7angle -{{6.85}^{o}}mu S}=20angle +{{22}^{o}}mA]

Resumen

• La barrera total de las barreras de la serie es la suma de sus pasadores.

• La aceptación total de las entradas paralelas es igual a la suma de sus grados.

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