Diseña un filtro PLL en el que sólo sean ajustables la resistencia cero y el condensador

Introducción

Como se describe en las referencias, se puede utilizar un procedimiento estándar para determinar los valores de R₀, C₀y C_P para un filtro de bucle de segundo orden en un bucle de bloqueo de fase (PLL). Utiliza el ancho de banda del bucle abierto (ω₀) y el margen de fase (ϕ_M) como parámetros de diseño, y puede extenderse a los filtros de bucle de tercer orden para determinar R₂ y C₂ (Figura 1). El procedimiento resuelve para C_P directamente y luego deriva los valores restantes.

En algunos casos, C_P, R₂y C₂ pueden ser componentes de valor fijo incrustados en el PLL, dejando sólo R₀ y C₀ disponible para controlar la respuesta del bucle. Esto anula el procedimiento anterior como C_P no se puede ajustar. Este trabajo propone un procedimiento alternativo que puede utilizarse cuando el valor de C_P es fijo, y cumple las limitaciones impuestas por la imposibilidad de controlar el valor de C_P.

Supuestos

Este método de diseño de filtros de bucle se basa en dos supuestos que se utilizan habitualmente en los diseños de filtros pasivos de tercer orden que amplían el diseño de un filtro de bucle de segundo orden a tercer orden compensando la presencia de R₂ y C₂ ajustando R₀ y C₀.

1. La frecuencia del polo resultante de R₂ y C₂ debe ser al menos un orden de magnitud mayor que ω0 (el ancho de banda de ganancia unitaria en bucle abierto deseado); concretamente, f₀ ≤ 0,1/(2πR₂C₂), donde f₀ = ω₀/(2π).
2. La carga de la combinación en serie de R₂ y C₂ en la R₀-C₀-C_P la red debería ser insignificante.

Función de transferencia de un filtro de bucle de segundo orden

Un filtro de bucle de segundo orden tiene dos constantes de tiempo (T₁ y T₂) asociados a sus componentes:

La función de transferencia del filtro de bucle, en términos de T₁, T₂y C_Pes importante, ya que desempeña un papel importante en la respuesta global del PLL:

Función del sistema PLL

El modelo de pequeña señal que se muestra en la figura 2 proporciona los medios para formular la respuesta del PLL y un modelo para analizar el cambio de fase en la salida resultante de una perturbación de fase en la entrada. Observa que el oscilador controlado por tensión (VCO), al ser una fuente de frecuencia, se comporta como un integrador de fase ideal, por lo que su ganancia (K_V) tiene un factor de 1/s (el equivalente a la integración por la transformada de Laplace). Por tanto, el modelo de señal pequeña de un PLL tiene una dependencia de la frecuencia (s = σ + jω).

La función de transferencia en bucle cerrado (H_CL) para un PLL se define como θ_OUT/θ_EN. La función de transferencia en bucle abierto (H_OL), definida como θ_FB/θ_ENestá relacionada con la función de transferencia del bucle cerrado. Es instructivo expresar H_CL en términos de H_OL porque la función de transferencia en bucle abierto contiene pistas sobre la estabilidad en bucle cerrado:

K representa las ganancias combinadas del detector de fase-frecuencia (PFD), la bomba de carga y el VCO, es decir, K = K_DK_Vdonde K_D es la corriente de la bomba de carga en amperios y K_V es la ganancia del VCO en Hz/V. H_OL, H_CLy H_LF son todas funciones de s. El signo negativo de la ecuación 4 muestra la inversión de fase que supone la retroalimentación negativa del nodo de suma en la figura 2. Al definir H_OL como en la ecuación 4, conduce a una sustracción en el denominador en la figura 5, que proporciona una explicación intuitiva de la estabilidad en bucle cerrado.

La inspección de la ecuación 5 revela un problema potencial con la estabilidad del bucle. Dado que H_OL es una función de la frecuencia compleja (s = σ + jω), tiene necesariamente componentes de magnitud y fase dependientes de la frecuencia. Por tanto, si H_OL tiene simultáneamente ganancia unitaria y desplazamiento de fase cero (o cualquier múltiplo entero de 2π radianes) para cualquier valor particular de s, el denominador de H_CL se hace cero, la ganancia de bucle cerrado se vuelve indefinida y el sistema se vuelve completamente inestable. Esto implica que la estabilidad se rige por las características de magnitud y fase de H_OL. De hecho, en la frecuencia para la que la magnitud de H_OL es unitaria, la fase de H_OL debe permanecer lo suficientemente lejos de cero (o de cualquier múltiplo entero de 2π) para evitar un denominador cero en la ecuación 5.

La frecuencia, ω₀en la que la magnitud de H_OL es la unidad, es de gran importancia. La fase de H_OL a ω₀ define el margen de fase del sistema ϕ_M. Tanto ω₀ y ϕ_M puede derivarse de H_OL.

Define R0 y C0 en términos de ω0 y ϕM

Utilizando los parámetros de diseño ω₀ y ϕ_M para determinar los valores de R₀ y C₀ requiere expresiones que contengan estas cuatro variables y otros términos constantes. Empieza con la ecuación 4, ya que define H_OL. Esto incluye H_LFque incluye R₀ y C₀ a través de T₁ y T₂. Ya que H_OL tiene una magnitud y una fase, no hace falta decir que ω₀ y ϕ_M también se puede incorporar.

Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 4 y reordenando los términos se obtiene la ecuación 6, que tiene H_OL en términos de T₁ y T₂ y las constantes K, N y C_P:

Evaluación en s = jω, da la respuesta en frecuencia de H_OL:

La (jω)² el término del denominador se simplifica a -ω²:

La magnitud y la fase de H_OL son :

No olvides que T₁ y T₂ son expresiones abreviadas de combinaciones algebraicas de R₀, C₀y C_P. Evaluando la ecuación 9 en ω = ω₀ y fijando |H_OL| = 1 define la frecuencia de ganancia unitaria, ω₀como la frecuencia a la que la magnitud de H_OL es la unidad.

Del mismo modo, evaluando la ecuación 10 en ω = ω₀ y el ajuste ∠H_OL = ϕ_M define el margen de fase, ϕ_Mcomo la fase de H_OL a la frecuencia ω₀ (la frecuencia de ganancia de la unidad).

Es trivial desarrollar la ecuación 11 y la ecuación 12 sustituyendo la ecuación 1 por T₂ y la ecuación 2 para T₁lo que lleva a R₀ y C₀ en las ecuaciones. Como resultado, hemos conseguido relacionar ω₀ y ϕ_M a las variables R₀ y C₀ y las constantes K, N y C_P.

Resuelve simultáneamente las ecuaciones resultantes para R₀ y C₀ no es una tarea trivial. El procesador simbólico disponible en MathCad^® puede resolver ambas ecuaciones simultáneamente, pero hay que sustituir arccos por arctan. Esta transformación permite al procesador simbólico resolver R₀ y C₀esto da los siguientes conjuntos de soluciones (R_0A, C_0A; R_0B, C_0B; R_0C, C_0Cy R_0D, C_0D). Consulta el Apéndice para conocer los detalles de la transformación de la ecuación 12 para utilizar la función arccos.

Este resultado es problemático porque el objetivo era resolver para R₀ y C₀ dado ω₀ y ϕ_Mpero esto indica cuatro posibles Rs₀, C₀ en lugar de una sola R₀, C₀ par. Sin embargo, un examen más detallado de los cuatro resultados nos lleva a un único conjunto de soluciones, como se indica a continuación.

Observa que, en el contexto del modelado del PLL, todas las variables de las ecuaciones anteriores tienen valores positivos, incluido el cos(ϕ_M) porque ϕ_M se limita a valores entre 0 y π/2. Por lo tanto, C_0A y R_0B son cantidades claramente negativas. Por tanto, los conjuntos de soluciones R_0A, C_0A y R_0B, C_0B se eliminan inmediatamente, ya que los valores negativos de los componentes no son aceptables. La R_0C, C_0C y R_0D, C_0D sin embargo, los resultados requieren un análisis más profundo.

Observa que las cuatro ecuaciones en las que interviene R_0C, C_0C y R_0D, C_0D tiene el factor común :

Un examen más detallado revela que la expresión 13 tiene la forma a² - (2ac)cos(β) + c². Al equiparar esto con la cantidad arbitraria, b², devuelve :

La ecuación 14, la ley de los cosenos, relaciona a, b y c como las longitudes de los tres lados de un triángulo, siendo β el ángulo interior del vértice opuesto al lado b. Ya que b² es el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo, debe ser una cantidad positiva, lo que implica que el lado derecho de la expresión 14 también debe ser positivo. Por tanto, la expresión 13 debe ser una cantidad positiva, lo que significa que el denominador de R_0D es positivo. El numerador de R_0D también es positivo, por lo que R_0D debe ser negativo, lo que excluye la R_0D, C_0D conjunto de soluciones. Esto deja sólo la solución R_0C, C_0C como competidor de la solución simultánea de la ecuación 11 y la ecuación 12.

Restricciones en R0 y C0

Aunque la Ecuación 15 y la Ecuación 16 son contendientes para la solución simultánea de la Ecuación 11 y la Ecuación 12, sólo son válidas si dan valores positivos tanto para R₀ y C₀. Una inspección minuciosa de R₀ muestra que es positivo - su numerador es positivo, ya que el rango de cos²(x) es de 0 a 1 y su denominador es el mismo que el de la expresión 13, que ya se ha demostrado que es positiva. El numerador de C₀ también es idéntica a la expresión 13, por lo que C₀ es positivo siempre que su denominador cumpla la siguiente condición:

Esto se representa gráficamente en la Figura 3, en la que los lados izquierdo y derecho de la Ecuación 17 se equiparan a y (curvas azul y verde), con el eje horizontal dividiendo ω₀ y ϕ_M. La intersección de las dos curvas marca la condición límite para ω₀ y ϕ_M. La condición en la que se cumple la ecuación 17 aparece como el arco rojo. La parte del eje horizontal bajo el arco rojo define el rango de ϕ_M y ω₀ que garantiza que C₀ es positivo. Observa el punto del eje horizontal situado directamente debajo de la intersección de las curvas azul y verde establece ϕ_{M_MAX}el valor máximo de ϕ_M para garantizar que C₀ es positivo.

La ecuación 18 requiere que C_PNω₀² sea menor que K para satisfacer las restricciones de la función arccos para ϕ_{M_MAX} entre 0 y π/2. Esto establece que ω_{0_MAX}el límite superior de ω₀ para garantizar que C₀ es positivo.

Compensación de R2 y C2 (Filtro de bucle de tercer orden)

En el caso de un filtro de bucle de tercer orden, los componentes R₂ y C₂ introducen un desplazamiento de fase adicional, Δϕ, con respecto al filtro de bucle de segundo orden:

Para tratar este exceso de desplazamiento de fase, réstalo del valor deseado de ϕ_M:

Aplicando ϕ_{M_NUEVO} en la ecuación 15 y la ecuación 16 da valores diferentes para R₀ y C₀ que para la solución de segundo orden, los nuevos valores compensan el excesivo desplazamiento de fase introducido por R₂ y C₂. La presencia de R₂ y C₂ también afecta a la ϕ_{M_MAX}el valor máximo permitido de ϕ_M. El nuevo valor máximo de ϕ_M (ϕ_{M_MAX_NEW}) es

Conclusión

Este trabajo demuestra el uso del ancho de banda de ganancia unitaria en bucle abierto (ω₀) y el margen de fase (ϕ_M) como parámetros de diseño para los filtros de bucle de segundo o tercer orden cuando sólo los componentes R₀ y C₀ son ajustables. Simulación de un PLL con un filtro de bucle de segundo orden utilizando R₀ y C₀ da una coincidencia exacta con la respuesta de frecuencia teórica de H_OL y el margen de fase resultante, validando así las ecuaciones. Los parámetros ω₀ y ϕ_M tienen límites superiores para un filtro de bucle de segundo orden mediante la ecuación 19 y la ecuación 18, respectivamente.

El procedimiento para determinar R₀ y C₀ supone un filtro de bucle de segundo orden, pero es extensible a diseños de filtros de bucle de tercer orden ajustando el margen de fase deseado (ϕ_M) a un nuevo valor (ϕ_{M_NUEVO}) mediante la ecuación 21, dando un nuevo límite superior (ϕ_{M_MAX_NEW}) según la ecuación 22.

Aunque las simulaciones con un filtro de bucle de segundo orden validaron las ecuaciones 15 y 16, la validación de las ecuaciones que amplían el procedimiento de diseño a los filtros de bucle de tercer orden requiere una redefinición de la respuesta del filtro de bucle, H_LF(s), para incluir R₂ y C₂ como sigue:

La incorporación de esta forma de H_LF en el H_OL y H_CL las ecuaciones permiten la simulación de diseños de filtros de bucle de tercer orden utilizando R₀ y C₀. Estas simulaciones revelan los valores calculados de R₀ y C₀ se desvían de la respuesta en frecuencia y del margen de fase teóricos asociados a H_OL para un PLL cuando se utiliza un filtro de bucle de tercer orden. Esto se debe principalmente al efecto de R₂ y C₂ en H_OL en un filtro de bucle de tercer orden.

Recuerda que las fórmulas de R₀ y C₀ supone un filtro de bucle de segundo orden, pero R₂ y C₂ no existen en un filtro de segundo orden, por lo que incluirlos en el filtro de bucle es una fuente de error a pesar del ajuste de R₀ y C₀ para compensar el desplazamiento de fase introducido por R₂ y C₂. Sin embargo, incluso en presencia de este error, la simulación indica que utilizando los valores ajustados de R₀ y C₀pero restringiendo la elección de ω₀ a un máximo de ¼ del valor dictado por la ecuación 19 da resultados aceptables. De hecho, los resultados simulados del ancho de banda en bucle abierto y del margen de fase sólo se desvían ligeramente de los parámetros de diseño (ω₀ y ϕ_M) para un PLL que utiliza un filtro de bucle de tercer orden.

Resultados de la simulación

Aquí tienes el resultado de realizar cuatro simulaciones de un PLL con un filtro de bucle de tercer orden. Todas las simulaciones tienen los siguientes componentes fijos del filtro de bucle y los parámetros del PLL:

C_P = 1,5 nF

R₂ = 165 kΩ

C₂ = 337 pF

K_D = 30 µA

K_V = 3072 (25 ppm/V a 122,88 MHz)

N = 100

La simulación 1 y la simulación 2 utilizan ω₀ = 100 Hz, que se acerca al límite superior calculado de 124,8 Hz (ω_{0_MAX}). Así, la Simulación 1 y la Simulación 2 se desvían de los valores de los parámetros de diseño (ω₀ y ϕ_M) en casi un 10%. En cambio, las simulaciones 3 y 4 utilizan ω₀ = 35 Hz, que es aproximadamente ¼ del límite superior. Como era de esperar, la simulación 3 y la simulación 4 se mantienen mucho más cerca de los parámetros de diseño (ω₀ y ϕ_M), dando un error de sólo un 1% aproximadamente.

La tabla 1 resume los resultados de la simulación y también incluye los valores calculados de R₀, C₀, ω_{0_MAX}y ϕ_{M_MAX} para los parámetros de diseño dados, ω₀ y ϕ_M. Ten en cuenta que, a efectos de comparación, sería preferible que la Simulación 1 y la Simulación 3 utilizaran la ϕ_M = 80°, pero la simulación 1 debe satisfacer la restricción impuesta por la ecuación 22 de ϕ_M < 48° (de ahí la elección de 42°).

Tabla 1: Resumen de la simulación

	Simulación 1		Simulación 2		Simulación 3		Simulación 4
Parámetro	ω0	ϕM	ω0	ϕM	ω0	ϕM	ω0	ϕM
Diseño	100 Hz	42°	100 Hz	30°	35 Hz	80°	35 Hz	30°
Simulación	93.1 Hz	38.7°	92.5 Hz	27.1°	34.9 Hz	79.0°	34.7 Hz	29.3°
R0	969.6 kΩ		1118 kΩ		240.1 kΩ		139.9 kΩ
C0	14.85 nF		3.670 nF		225.5 nF		21.24 nF
ω0_MAX	124.8 Hz		124.8 Hz		124.8 Hz		124.8 Hz
ϕM_MAX	48.0°		48.0°		84.8°		84.8°

Las figuras 4 y 5 muestran la respuesta en bucle abierto y cerrado de cada simulación.

Apéndice - Conversión de la función Arctan discontinua en una función Arccos continua

La ecuación 10 muestra que el ángulo ϕ es la diferencia entre el ángulo θ₂ y el ángulo θ₁donde θ₂ = arctan(ωT₂) y θ1 = arctan(ωT₁). Además, ωT₂ es expresable como x/1 y ωT₁ como y/1 :

Esto implica la relación geométrica mostrada en la figura 6, con θ₁ y θ₂ definidos por los triángulos de la Figura 6 (b) y (a), respectivamente. La figura 6 (c) combina estos dos triángulos para mostrar que ϕ es la diferencia entre θ₁ y θ₂.

La ley de los cosenos relaciona un ángulo interior (θ) de un triángulo con las longitudes de los tres lados del triángulo (a, b y c) como sigue:

Aplicando la ley de los cosenos al ángulo ϕ de la figura 6 (c), obtenemos :

Resuelve para ϕ :

Pero, x/1 = ωT₂ y/1 = ωT₁lo que permite expresar ϕ en términos de T₁ y T₂.

Referencias

Brennan, Paul V Bucles de bloqueo de fase: Principios y práctica. McGraw-Hill, 1996.

Keese, William O. AN-1001, Nota de aplicación de National Semiconductor, Análisis y evaluación del rendimiento de una técnica de diseño de filtro pasivo para bucles de bloqueo de fase de bomba de carga. Mayo de 1996.

MT-086: Fundamentos de los bucles de bloqueo de fase (PLL).

PLLs/PLLs con VCOs integrados.