Diseña un filtro PLL en el que sólo sean ajustables la resistencia cero y el condensador

Introducción

Como se describe en las referencias, se puede utilizar un procedimiento estándar para determinar los valores de R, Cy CP para un filtro de bucle de segundo orden en un bucle de bloqueo de fase (PLL). Utiliza el ancho de banda del bucle abierto (ω) y el margen de fase (ϕM) como parámetros de diseño, y puede extenderse a los filtros de bucle de tercer orden para determinar R2 y C2 (Figura 1). El procedimiento resuelve para CP directamente y luego deriva los valores restantes.

En algunos casos, CP, R2y C2 pueden ser componentes de valor fijo incrustados en el PLL, dejando sólo R y C disponible para controlar la respuesta del bucle. Esto anula el procedimiento anterior como CP no se puede ajustar. Este trabajo propone un procedimiento alternativo que puede utilizarse cuando el valor de CP es fijo, y cumple las limitaciones impuestas por la imposibilidad de controlar el valor de CP.

Figura 1: Filtros típicos de bucle pasivo de segundo y tercer orden.

Supuestos

Este método de diseño de filtros de bucle se basa en dos supuestos que se utilizan habitualmente en los diseños de filtros pasivos de tercer orden que amplían el diseño de un filtro de bucle de segundo orden a tercer orden compensando la presencia de R2 y C2 ajustando R y C.

  1. La frecuencia del polo resultante de R2 y C2 debe ser al menos un orden de magnitud mayor que ω0 (el ancho de banda de ganancia unitaria en bucle abierto deseado); concretamente, f ≤ 0,1/(2πR2C2), donde f = ω/(2π).
  2. La carga de la combinación en serie de R2 y C2 en la R-C-CP la red debería ser insignificante.

Función de transferencia de un filtro de bucle de segundo orden

Un filtro de bucle de segundo orden tiene dos constantes de tiempo (T1 y T2) asociados a sus componentes:

49-02-EQ01-02

La función de transferencia del filtro de bucle, en términos de T1, T2y CPes importante, ya que desempeña un papel importante en la respuesta global del PLL:

49-02-EQ03

Función del sistema PLL

El modelo de pequeña señal que se muestra en la figura 2 proporciona los medios para formular la respuesta del PLL y un modelo para analizar el cambio de fase en la salida resultante de una perturbación de fase en la entrada. Observa que el oscilador controlado por tensión (VCO), al ser una fuente de frecuencia, se comporta como un integrador de fase ideal, por lo que su ganancia (KV) tiene un factor de 1/s (el equivalente a la integración por la transformada de Laplace). Por tanto, el modelo de señal pequeña de un PLL tiene una dependencia de la frecuencia (s = σ + jω).

49-02-FIG02
Figura 2: Modelo de PLL de pequeña señal.

La función de transferencia en bucle cerrado (HCL) para un PLL se define como θOUTEN. La función de transferencia en bucle abierto (HOL), definida como θFBENestá relacionada con la función de transferencia del bucle cerrado. Es instructivo expresar HCL en términos de HOL porque la función de transferencia en bucle abierto contiene pistas sobre la estabilidad en bucle cerrado:

49-02-EQ04-05

K representa las ganancias combinadas del detector de fase-frecuencia (PFD), la bomba de carga y el VCO, es decir, K = KDKVdonde KD es la corriente de la bomba de carga en amperios y KV es la ganancia del VCO en Hz/V. HOL, HCLy HLF son todas funciones de s. El signo negativo de la ecuación 4 muestra la inversión de fase que supone la retroalimentación negativa del nodo de suma en la figura 2. Al definir HOL como en la ecuación 4, conduce a una sustracción en el denominador en la figura 5, que proporciona una explicación intuitiva de la estabilidad en bucle cerrado.

La inspección de la ecuación 5 revela un problema potencial con la estabilidad del bucle. Dado que HOL es una función de la frecuencia compleja (s = σ + jω), tiene necesariamente componentes de magnitud y fase dependientes de la frecuencia. Por tanto, si HOL tiene simultáneamente ganancia unitaria y desplazamiento de fase cero (o cualquier múltiplo entero de 2π radianes) para cualquier valor particular de s, el denominador de HCL se hace cero, la ganancia de bucle cerrado se vuelve indefinida y el sistema se vuelve completamente inestable. Esto implica que la estabilidad se rige por las características de magnitud y fase de HOL. De hecho, en la frecuencia para la que la magnitud de HOL es unitaria, la fase de HOL debe permanecer lo suficientemente lejos de cero (o de cualquier múltiplo entero de 2π) para evitar un denominador cero en la ecuación 5.

La frecuencia, ωen la que la magnitud de HOL es la unidad, es de gran importancia. La fase de HOL a ω define el margen de fase del sistema ϕM. Tanto ω y ϕM puede derivarse de HOL.

Define R y C en términos de ω y ϕM

Utilizando los parámetros de diseño ω y ϕM para determinar los valores de R y C requiere expresiones que contengan estas cuatro variables y otros términos constantes. Empieza con la ecuación 4, ya que define HOL. Esto incluye HLFque incluye R y C a través de T1 y T2. Ya que HOL tiene una magnitud y una fase, no hace falta decir que ω y ϕM también se puede incorporar.

Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 4 y reordenando los términos se obtiene la ecuación 6, que tiene HOL en términos de T1 y T2 y las constantes K, N y CP:

49-02-EQ06

Evaluación en s = jω, da la respuesta en frecuencia de HOL:

49-02-EQ07

La (jω)2 el término del denominador se simplifica a -ω2:

49-02-EQ08

La magnitud y la fase de HOL son :

49-02-EQ09-10

No olvides que T1 y T2 son expresiones abreviadas de combinaciones algebraicas de R, Cy CP. Evaluando la ecuación 9 en ω = ω y fijando |HOL| = 1 define la frecuencia de ganancia unitaria, ωcomo la frecuencia a la que la magnitud de HOL es la unidad.

49-02-EQ11

Del mismo modo, evaluando la ecuación 10 en ω = ω y el ajuste ∠HOL = ϕM define el margen de fase, ϕMcomo la fase de HOL a la frecuencia ω (la frecuencia de ganancia de la unidad).

49-02-EQ12

Es trivial desarrollar la ecuación 11 y la ecuación 12 sustituyendo la ecuación 1 por T2 y la ecuación 2 para T1lo que lleva a R y C en las ecuaciones. Como resultado, hemos conseguido relacionar ω y ϕM a las variables R y C y las constantes K, N y CP.

Resuelve simultáneamente las ecuaciones resultantes para R y C no es una tarea trivial. El procesador simbólico disponible en MathCad® puede resolver ambas ecuaciones simultáneamente, pero hay que sustituir arccos por arctan. Esta transformación permite al procesador simbólico resolver R y Cesto da los siguientes conjuntos de soluciones (R0A, C0A; R0B, C0B; R0C, C0Cy R0D, C0D). Consulta el Apéndice para conocer los detalles de la transformación de la ecuación 12 para utilizar la función arccos.

49-02-EQ13a

Este resultado es problemático porque el objetivo era resolver para R y C dado ω y ϕMpero esto indica cuatro posibles Rs, C en lugar de una sola R, C par. Sin embargo, un examen más detallado de los cuatro resultados nos lleva a un único conjunto de soluciones, como se indica a continuación.

Observa que, en el contexto del modelado del PLL, todas las variables de las ecuaciones anteriores tienen valores positivos, incluido el cos(ϕM) porque ϕM se limita a valores entre 0 y π/2. Por lo tanto, C0A y R0B son cantidades claramente negativas. Por tanto, los conjuntos de soluciones R0A, C0A y R0B, C0B se eliminan inmediatamente, ya que los valores negativos de los componentes no son aceptables. La R0C, C0C y R0D, C0D sin embargo, los resultados requieren un análisis más profundo.

Observa que las cuatro ecuaciones en las que interviene R0C, C0C y R0D, C0D tiene el factor común :

49-02-EQ13b

Un examen más detallado revela que la expresión 13 tiene la forma a2 – (2ac)cos(β) + c2. Al equiparar esto con la cantidad arbitraria, b2, devuelve :

49-02-EQ14

La ecuación 14, la ley de los cosenos, relaciona a, b y c como las longitudes de los tres lados de un triángulo, siendo β el ángulo interior del vértice opuesto al lado b. Ya que b2 es el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo, debe ser una cantidad positiva, lo que implica que el lado derecho de la expresión 14 también debe ser positivo. Por tanto, la expresión 13 debe ser una cantidad positiva, lo que significa que el denominador de R0D es positivo. El numerador de R0D también es positivo, por lo que R0D debe ser negativo, lo que excluye la R0D, C0D conjunto de soluciones. Esto deja sólo la solución R0C, C0C como competidor de la solución simultánea de la ecuación 11 y la ecuación 12.

49-02-EQ15-16

Restricciones en R y C

Aunque la Ecuación 15 y la Ecuación 16 son contendientes para la solución simultánea de la Ecuación 11 y la Ecuación 12, sólo son válidas si dan valores positivos tanto para R y C. Una inspección minuciosa de R muestra que es positivo – su numerador es positivo, ya que el rango de cos2(x) es de 0 a 1 y su denominador es el mismo que el de la expresión 13, que ya se ha demostrado que es positiva. El numerador de C también es idéntica a la expresión 13, por lo que C es positivo siempre que su denominador cumpla la siguiente condición:

49-02-EQ17

Esto se representa gráficamente en la Figura 3, en la que los lados izquierdo y derecho de la Ecuación 17 se equiparan a y (curvas azul y verde), con el eje horizontal dividiendo ω y ϕM. La intersección de las dos curvas marca la condición límite para ω y ϕM. La condición en la que se cumple la ecuación 17 aparece como el arco rojo. La parte del eje horizontal bajo el arco rojo define el rango de ϕM y ω que garantiza que C es positivo. Observa el punto del eje horizontal situado directamente debajo de la intersección de las curvas azul y verde establece ϕM_MAXel valor máximo de ϕM para garantizar que C es positivo.

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La ecuación 18 requiere que CP2 sea menor que K para satisfacer las restricciones de la función arccos para ϕM_MAX entre 0 y π/2. Esto establece que ω0_MAXel límite superior de ω para garantizar que C es positivo.

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Figura 3: Tensión en C denominador.

Compensación de R2 y C2 (Filtro de bucle de tercer orden)

En el caso de un filtro de bucle de tercer orden, los componentes R2 y C2 introducen un desplazamiento de fase adicional, Δϕ, con respecto al filtro de bucle de segundo orden:

49-02-EQ20

Para tratar este exceso de desplazamiento de fase, réstalo del valor deseado de ϕM:

49-02-EQ21

Aplicando ϕM_NUEVO en la ecuación 15 y la ecuación 16 da valores diferentes para R y C que para la solución de segundo orden, los nuevos valores compensan el excesivo desplazamiento de fase introducido por R2 y C2. La presencia de R2 y C2 también afecta a la ϕM_MAXel valor máximo permitido de ϕM. El nuevo valor máximo de ϕMM_MAX_NEW) es

49-02-EQ22

Conclusión

Este trabajo demuestra el uso del ancho de banda de ganancia unitaria en bucle abierto (ω) y el margen de fase (ϕM) como parámetros de diseño para los filtros de bucle de segundo o tercer orden cuando sólo los componentes R y C son ajustables. Simulación de un PLL con un filtro de bucle de segundo orden utilizando R y C da una coincidencia exacta con la respuesta de frecuencia teórica de HOL y el margen de fase resultante, validando así las ecuaciones. Los parámetros ω y ϕM tienen límites superiores para un filtro de bucle de segundo orden mediante la ecuación 19 y la ecuación 18, respectivamente.

El procedimiento para determinar R y C supone un filtro de bucle de segundo orden, pero es extensible a diseños de filtros de bucle de tercer orden ajustando el margen de fase deseado (ϕM) a un nuevo valor (ϕM_NUEVO) mediante la ecuación 21, dando un nuevo límite superior (ϕM_MAX_NEW) según la ecuación 22.

Aunque las simulaciones con un filtro de bucle de segundo orden validaron las ecuaciones 15 y 16, la validación de las ecuaciones que amplían el procedimiento de diseño a los filtros de bucle de tercer orden requiere una redefinición de la respuesta del filtro de bucle, HLF(s), para incluir R2 y C2 como sigue:

49-02-EQ23

La incorporación de esta forma de HLF en el HOL y HCL las ecuaciones permiten la simulación de diseños de filtros de bucle de tercer orden utilizando R y C. Estas simulaciones revelan los valores calculados de R y C se desvían de la respuesta en frecuencia y del margen de fase teóricos asociados a HOL para un PLL cuando se utiliza un filtro de bucle de tercer orden. Esto se debe principalmente al efecto de R2 y C2 en HOL en un filtro de bucle de tercer orden.

Recuerda que las fórmulas de R y C supone un filtro de bucle de segundo orden, pero R2 y C2 no existen en un filtro de segundo orden, por lo que incluirlos en el filtro de bucle es una fuente de error a pesar del ajuste de R y C para compensar el desplazamiento de fase introducido por R2 y C2. Sin embargo, incluso en presencia de este error, la simulación indica que utilizando los valores ajustados de R y Cpero restringiendo la elección de ω a un máximo de ¼ del valor dictado por la ecuación 19 da resultados aceptables. De hecho, los resultados simulados del ancho de banda en bucle abierto y del margen de fase sólo se desvían ligeramente de los parámetros de diseño (ω y ϕM) para un PLL que utiliza un filtro de bucle de tercer orden.

Resultados de la simulación

Aquí tienes el resultado de realizar cuatro simulaciones de un PLL con un filtro de bucle de tercer orden. Todas las simulaciones tienen los siguientes componentes fijos del filtro de bucle y los parámetros del PLL:

CP = 1,5 nF

R2 = 165 kΩ

C2 = 337 pF

KD = 30 µA

KV = 3072 (25 ppm/V a 122,88 MHz)

N = 100

La simulación 1 y la simulación 2 utilizan ω = 100 Hz, que se acerca al límite superior calculado de 124,8 Hz (ω0_MAX). Así, la Simulación 1 y la Simulación 2 se desvían de los valores de los parámetros de diseño (ω y ϕM) en casi un 10%. En cambio, las simulaciones 3 y 4 utilizan ω = 35 Hz, que es aproximadamente ¼ del límite superior. Como era de esperar, la simulación 3 y la simulación 4 se mantienen mucho más cerca de los parámetros de diseño (ω y ϕM), dando un error de sólo un 1% aproximadamente.

La tabla 1 resume los resultados de la simulación y también incluye los valores calculados de R, C, ω0_MAXy ϕM_MAX para los parámetros de diseño dados, ω y ϕM. Ten en cuenta que, a efectos de comparación, sería preferible que la Simulación 1 y la Simulación 3 utilizaran la ϕM = 80°, pero la simulación 1 debe satisfacer la restricción impuesta por la ecuación 22 de ϕM < 48° (de ahí la elección de 42°).

Tabla 1: Resumen de la simulación

Simulación 1Simulación 2Simulación 3Simulación 4
ParámetroωϕMωϕMωϕMωϕM
Diseño100 Hz42°100 Hz30°35 Hz80°35 Hz30°
Simulación93.1 Hz38.7°92.5 Hz27.1°34.9 Hz79.0°34.7 Hz29.3°
R969.6 kΩ1118 kΩ240.1 kΩ139.9 kΩ
C14.85 nF3.670 nF225.5 nF21.24 nF
ω0_MAX124.8 Hz124.8 Hz124.8 Hz124.8 Hz
ϕM_MAX48.0°48.0°84.8°84.8°

Las figuras 4 y 5 muestran la respuesta en bucle abierto y cerrado de cada simulación.

49-02-FIG04
Figura 4: Ganancia y fase en bucle abierto.
49-02-FIG05
Figura 5: Ganancia en bucle cerrado.

Apéndice – Conversión de la función Arctan discontinua en una función Arccos continua

La ecuación 10 muestra que el ángulo ϕ es la diferencia entre el ángulo θ2 y el ángulo θ1donde θ2 = arctan(ωT2) y θ1 = arctan(ωT1). Además, ωT2 es expresable como x/1 y ωT1 como y/1 :

49-02-EQ24

Esto implica la relación geométrica mostrada en la figura 6, con θ1 y θ2 definidos por los triángulos de la Figura 6 (b) y (a), respectivamente. La figura 6 (c) combina estos dos triángulos para mostrar que ϕ es la diferencia entre θ1 y θ2.

La ley de los cosenos relaciona un ángulo interior (θ) de un triángulo con las longitudes de los tres lados del triángulo (a, b y c) como sigue:

49-02-EQ25

Aplicando la ley de los cosenos al ángulo ϕ de la figura 6 (c), obtenemos :

49-02-EQ26
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Figura 6. Representación geométrica de la ecuación 10.

Resuelve para ϕ :

49-02-EQ27

Pero, x/1 = ωT2 y/1 = ωT1lo que permite expresar ϕ en términos de T1 y T2.

49-02-EQ28

Referencias

Brennan, Paul V Bucles de bloqueo de fase: Principios y práctica. McGraw-Hill, 1996.

Keese, William O. AN-1001, Nota de aplicación de National Semiconductor, Análisis y evaluación del rendimiento de una técnica de diseño de filtro pasivo para bucles de bloqueo de fase de bomba de carga. Mayo de 1996.

MT-086: Fundamentos de los bucles de bloqueo de fase (PLL).

PLLs/PLLs con VCOs integrados.

Lee:  Principios básicos del diseño de un receptor de radio digital (Radio 101)
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