Construcción del filtro Butterworth con sus aplicaciones

El proceso o dispositivo utilizado para filtrar una señal de un componente no deseado se denomina filtro y también se conoce como filtro de procesamiento de señales. La reducción del ruido de fondo y la supresión de señales espurias mediante la eliminación de ciertas frecuencias se denomina filtrado. Existen diferentes tipos de filtros que se clasifican según varios criterios, como linealidad: lineal o no lineal, variable en el tiempo o invariante en el tiempo, analógico o digital, activo o pasivo, etc. Considere filtros lineales de tiempo continuo como el filtro Chebyshev, el filtro Bessel, el filtro Butterworth y el filtro elíptico. Aquí, en este artículo, analicemos la construcción del filtro Butterworth junto con sus aplicaciones.

Filtro Butterworth

El filtro de procesamiento de señal que tiene una respuesta de frecuencia plana en la banda de paso puede denominarse filtro Butterworth y también se denomina filtro de amplitud máximamente plana. En 1930, el físico e ingeniero británico Stephen Butterworth describió por primera vez un filtro Butterworth en su artículo "Sobre la teoría del amplificador de filtro". Por lo tanto, este tipo de filtro se llama filtro Butterworth. Hay diferentes tipos de filtros Butterworth, como el filtro Butterworth de paso bajo y el filtro Butterworth digital.

Diseño de filtro Butterworth

Los filtros se utilizan para dar forma al espectro de frecuencia de la señal en sistemas de comunicación o sistemas de control. La frecuencia de corte o frecuencia de corte viene dada por la ecuación:

El filtro Butterworth tiene una respuesta de frecuencia que es lo más plana posible matemáticamente, por lo que también se le llama filtro de amplitud máximamente plana (desde 0 Hz hasta la frecuencia de corte a -3 dB sin ninguna ondulación). El factor de calidad para este tipo es simplemente Q = 0,707, por lo que todas las frecuencias altas por encima de la banda de corte se reducen a cero a 20 dB por década o 6 dB por octava en la banda de parada.

El filtro Butterworth pasa de la banda de paso a la banda de parada logrando una banda de paso plana a expensas de las bandas de transición anchas y se considera que es la principal desventaja del filtro Butterworth. A continuación se muestran las aproximaciones estándar del filtro de paso bajo Butterworth para varios órdenes de filtro junto con la respuesta de frecuencia ideal llamada "pared de ladrillo".

Si el orden del filtro Butterworth aumenta, los pasos en cascada en el diseño del filtro Butterworth aumentan y la respuesta y el filtro de pared de ladrillos se vuelven más cercanos, como se muestra en la figura anterior.

La respuesta de frecuencia del filtro Butterworth de orden n viene dada por

Donde 'n' indica el orden del filtro, 'ω' = 2πƒ, Epsilon ε es la ganancia máxima de ancho de banda, (Amax). Si configuramos Amax en el punto de esquina de frecuencia de corte -3dB (ƒc), entonces ε será igual a uno y, por lo tanto, ε2 también será igual a uno. Pero, si queremos establecer Amax en otro valor de ganancia de voltaje, considere 1dB o 1,1220 (1dB = 20logAmax), entonces el valor de ε se puede encontrar mediante:

Donde, H0 representa la ganancia máxima de ancho de banda y H1 representa la ganancia mínima de ancho de banda. Ahora bien, si transponemos la ecuación anterior, entonces obtendremos

Usando la función de transferencia de voltaje estándar, podemos definir la respuesta de frecuencia del filtro Butterworth como

Donde, Vout denota el voltaje de la señal de salida, Vin denota la señal de voltaje de entrada, j es la raíz cuadrada de -1 y 'ω' = 2πƒ es la frecuencia en radianes. La ecuación anterior se puede representar en el dominio S como se muestra a continuación

En general, se utilizan diferentes topologías para implementar filtros analógicos lineales. Pero la topología de Cauer se usa generalmente para la realización pasiva y la topología de Sallen-Key se usa generalmente para la realización activa.

Diseño de filtros Butterworth utilizando la topología de Cauer

El filtro Butterworth se puede realizar utilizando componentes pasivos como inductores en serie y capacitores en derivación con topología de forma Cauer - Cauer 1, como se muestra en la figura a continuación.

Donde, el K-ésimo elemento del circuito viene dado por

Los filtros que comienzan con elementos en serie son accionados por voltaje y los filtros que comienzan con elementos en derivación son accionados por corriente.

Diseño de filtros Butterworth utilizando la topología Sallen-Key

El filtro Butterworth (filtro analógico lineal) se puede realizar utilizando componentes pasivos y componentes activos como resistencias, condensadores y amplificadores operacionales con topología de clave Sallen.

El par conjugado de polos se puede implementar usando cada etapa clave de Sallen y para implementar el filtro global necesitamos conectar en cascada todas las etapas en serie. En caso de polo real, para implementarlo por separado como un circuito RC, las etapas activas deben conectarse en cascada. La función de transferencia del circuito Sallen-Key de segundo orden que se muestra en la figura anterior está dada por

Filtro digital Butterworth

El diseño del filtro Butterworth se puede implementar numéricamente en función de dos métodos adecuados para la transformada z y la transformada bilineal. Un diseño de filtro analógico se puede describir usando estos dos métodos. Si consideramos el filtro Butterworth que tiene filtros de todos los polos, entonces se dice que los dos métodos, la varianza del momento y la transformada z combinada, son equivalentes.

Aplicación del filtro Butterworth

• El filtro Butterworth se usa normalmente en aplicaciones de conversión de datos como un filtro anti-aliasing debido a su naturaleza de ancho de banda plano máximo.
• La visualización de la trayectoria del objetivo del radar se puede diseñar utilizando el filtro Butterworth.
• Los filtros Butterworth se utilizan con frecuencia en aplicaciones de audio de alta calidad.
• En el análisis de movimiento se utilizan filtros Butterworth digitales.

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