Álgebra booleana

Qué es el álgebra booleana

El álgebra booleana es un departamento particular del álgebra que se utiliza generalmente en la electrónica digital. El álgebra de Boole fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.

El álgebra de Boole es una técnica de simplificación de los circuitos lógicos (o generalmente denominados circuitos de conmutación lógica) en la electrónica digital.

Por eso también se le llama «álgebra del interruptor». Nos referiremos al funcionamiento de los circuitos lógicos mediante el uso de números siguiendo unas pautas, que suelen llamarse «Pautas legales del álgebra booleana».

Además, haremos los cálculos y las operaciones lógicas de los circuitos aún más rápidos siguiendo algunos teoremas, que suelen llamarse «Teoremas del Álgebra de Boole». Una operación booleana es una operación que representa la relación entre la entrada y la salida de un circuito lógico.

La lógica booleana sólo permite dos estados del circuito, similares a Verdadero y Falso. Estos dos estados están representados por 1 y 0, el lugar 1 representa el estado «Verdadero» y el 0 representa el estado «Falso».

Un factor importante que hay que recordar en el Álgebra de Boole es que es vitalmente muy diferente del álgebra matemática común y sus estrategias. Antes de estudiar en relación con el Álgebra de Boole, conozcamos en relación con el pasado histórico del Álgebra de Boole y su invención y crecimiento.

El pasado histórico del álgebra de Boole

Como ya se ha dicho, el álgebra de Boole se inventó en los 12 meses de 1854 por un matemático inglés, George Boole. Reconoció por primera vez el pensamiento del álgebra booleana en su libro electrónico «Una investigación de las directrices legales del pensamiento».

Después de esto, el Álgebra de Boole suele llamarse la forma correcta de representar los circuitos lógicos digitales.

A finales del siglo XIX, los científicos Jevons, Schroder y Huntington utilizaron esta idea para modernizarla. Y en los 12 meses de 1936, M.H.Stone demostró que el álgebra booleana es «isomorfa» a las unidades (Un espacio útil en aritmética).

En la década de 1930, un científico llamado Claude Shannon desarrolló una nueva técnica de álgebra como «Álgebra de Conmutación», utilizando las ideas del álgebra de Boole, para aprender los circuitos de conmutación.

La síntesis lógica de los instrumentos de automatización digital de moda se representa eficazmente mediante el uso de características booleanas, a menudo llamadas «diagramas de determinación binaria».

El álgebra booleana sólo permite dos estados de un circuito lógico, como Verdadero y Falso o Excesivo y Bajo o Claro y No o Abierto y Cerrado o 0 y 1.

Expresiones booleanas

Son muy similares a los de la expresión matemática. Las expresiones booleanas se forman combinando las variables lógicas mediante el uso de los operadores lógicos. Por ejemplo

  • X + Y
  • X + Y + X Z’
  • X’ + Y’

Postulados del álgebra de Boole

Hay algunas pautas y directrices legales primarias que el sistema algebraico booleano debe observar. A menudo se les llama «Directrices legales del álgebra booleana».

Propiedades de 1 y 0

0 + X = X

1 + X = 1

0 . X = 0

1 . X = X

Regulación de la Id

X + 0 = X

X . 1 = X

Legislación Idompotente

X + X = X

X . X = X

Directrices legales de dominación o legislación de anulación

X.0 = 0

X + 1 = 1

Legislación complementaria

X + X’ = 1

X . X’ = 0

Legislación conmutativa

X + Y = Y + X

X . Y = Y . X

Legislación distributiva

X. (Y + Z) = X.Y + X.Z

X + (Y.Z) = (X + Y)(X + Z)

Legislación asociativa

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (OR asociativo)

X .(Y.Z) = (X . Y) Z (AND Asociativo)

Pautas legales de absorción

X + X.Y = X (O Absorbente)

X .(X + Y) = X (Y Absorbente)

Directrices legales sobre el despido

X + X’.Y = X + Y

X.(X’ + Y) = X.Y

Combinación de legislaciones

X . Y + X . Y’= X

(X + Y) (X +Y’) = X

Reglamento de Involución

(X’)’ = X

Directrices legales consensuadas

X.Y + X’.Z + YZ = X.Y + X’.Z

(X + Y)(X’ + Z)(Y + Z) = (X + Y)(X’ + Z)

Operaciones de lógica booleana

En toda la aritmética, significamos las operaciones matemáticas entre variables algebraicas mediante el uso de operadores matemáticos como +, -, *, /. Del mismo modo, en el álgebra booleana, significamos las operaciones booleanas mediante el uso de operadores lógicos como las operaciones Y, O, NO.

Las operaciones aritméticas booleanas fundamentales son de tres tipos. Son la operación AND, la operación OR y la operación NOT. En todo momento, nos referimos a la operación booleana en mayúsculas.

Representar las operaciones en mayúsculas y minúsculas es una forma errónea. Centrémonos en las operaciones aritméticas booleanas.

Complemento (NO ejecutar)

Complemento significa «La inversión o el valor inverso o inverso». El álgebra booleana ayuda a regular el complemento. Por ejemplo, si la variable es 1, su complemento es 0.

Del mismo modo, si la variable es 0, su complemento será 1. La variable del complemento se representa con una «barra» en la variable.

La operación de complemento también se denomina operación NOT. La puerta NOT realiza la operación de complemento booleano.

Si X = 1, entonces X ̅ = 0

Si X = 0, entonces X ̅ = 1

La salida complementada X ̅ puede aprenderse como X – barra o X – no. Además, nos referimos a la variable complementada por una imagen «primera» (‘) como X’.

La imagen lógica de la puerta NOT se demuestra a continuación

Suma (Ejecución OR)

La ejecución de OR significa la suma booleana de números binarios. Produce la suma de los 2 números binarios de forma similar a

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 =1

La operación booleana OR se define mediante el uso del puerto OR y los contactos de desplazamiento en paralelo.

Para 0 + 0 = 0

booleano u operación 0+0

Para 0 + 1 = 1

booleano o 0+1

Para 1 + 0 = 1

booleano o 0+1

Para 1 + 0 = 1

booleano o 1+0

Para 1 + 1 = 1

o la operación 1+1

El factor esencial que hay que recordar en el álgebra booleana es que no existe un mecanismo directo para incluir números destructivos. Esto implica que no hay posibilidad de sustracción directa en el álgebra booleana. La sustracción no es nada, sin embargo la «suma compuesta». Por ejemplo, 4 – 2 es idéntico porque 4 + (-2).

Multiplicación (AND Perform)

La función AND significa la multiplicación booleana de números binarios. Produce el producto de los 2 números binarios de forma similar a

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

La operación booleana AND se define mediante el uso de la puerta AND y los contactos de cambio de secuencia.

Para 0 . 0 = 0

y la operación 0+0

Para 0 . 1 = 0

y la operación 2

Para 1 . 0 = 0

booleano o 1+0

Para 1 . 1 = 1

y la operación 4

Un factor vital a tener en cuenta en el Álgebra de Boole es que no existe un mecanismo directo para la división de dos números. La división no es más que la «multiplicación compuesta».

Simplificación de las características booleanas

Utilizando los teoremas booleanos y las pautas legales booleanas, podemos simplificar las expresiones booleanas, mediante las cuales podemos recortar la variedad necesaria de puertas lógicas a aplicar. Simplificaremos la operación booleana mediante el uso de dos estrategias,

  1. La técnica algebraica – mediante el uso de identidades (pautas legales booleanas).
  2. La técnica gráfica – mediante el uso de la técnica del Mapa de Karnaugh

La técnica del Ok-map puede ser muy sencilla para simplificar una operación que utilizar identidades. Si n es la variedad de variables, entonces el Ok-mapa consta de 2n celdas y no habrá ningún valor relacionado para ninguna de las 2 filas de columnas adyacentes.

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