Transformación estrella-triángulo y transformación estrella-triángulo

Redes Wye (estrella) y delta reconocidas para la conversión al cambiar entre tipos. En las redes Wye (estrella), cada resistencia recibe el nombre de la terminal a la que está conectada: R_aR_by R_contra. Para las redes Delta (Pie), cada resistencia recibe el nombre de los dos terminales a los que está conectada: R_{a B}R_{antes de Cristo}y R_California.

A veces, en un circuito eléctrico, las resistencias se conectan en forma de estrella (o estrella) o delta (o circular). En tales casos, queremos determinar las relaciones entre las resistencias que nos permitan transformar una determinada red Delta en una red Wye (Y) equivalente, o viceversa.

Fig.1: Red en estrella (Y)

Fig.2: Red Delta

Para convertir un circuito en estrella en uno en delta o viceversa, se utiliza un conjunto de ecuaciones.

Transformación delta a estrella

Un circuito en estrella se conoce comúnmente como circuito en estrella. Para convertir resistencias conectadas en delta a una red en estrella, usamos una serie de ecuaciones:

[begin{matrix}   {{R}_{a}}=frac{{{R}_{ab}}{{R}_{ac}}}{{{R}_{ab}}+{{R}_{ac}}+{{R}_{bc}}} & {} & left( 1 right)  end{matrix}]

[begin{matrix}   {{R}_{b}}=frac{{{R}_{ab}}{{R}_{bc}}}{{{R}_{ab}}+{{R}_{ac}}+{{R}_{bc}}} & {} & left( 2 right)  end{matrix}]

[begin{matrix}   {{R}_{c}}=frac{{{R}_{ac}}{{R}_{bc}}}{{{R}_{ab}}+{{R}_{ac}}+{{R}_{bc}}} & {} & left( 3 right)  end{matrix}]

Los índices utilizados en las ecuaciones anteriores se pueden ver en las figuras de red anteriores.

Las ecuaciones 1, 2 y 3 se pueden usar para convertir de Delta a Wye (Y). El examen de la ecuación 1 muestra que la resistencia R se puede obtener para obtener la red Y_a conectado a la terminal A, las dos resistencias conectadas en Delta conectadas a A deben multiplicarse entre sí, y el producto dividido por la suma de las tres resistencias de la red Delta. Se aplica un procedimiento similar para encontrar las resistencias de red Y conectadas a las terminales B y C.

Transformación de estrella a delta

En este caso, para convertir resistencias conectadas en estrella a conexión delta, se pueden usar una serie de ecuaciones:

[begin{matrix}   {{R}_{ab}}=frac{{{R}_{a}}{{R}_{b}}+{{R}_{a}}{{R}_{c}}+{{R}_{b}}{{R}_{c}}}{{{R}_{c}}} & {} & left( 4 right)  end{matrix}]

[begin{matrix}   {{R}_{ac}}=frac{{{R}_{a}}{{R}_{b}}+{{R}_{a}}{{R}_{c}}+{{R}_{b}}{{R}_{c}}}{{{R}_{b}}} & {} & left( 5 right)  end{matrix}]

[begin{matrix}   {{R}_{bc}}=frac{{{R}_{a}}{{R}_{b}}+{{R}_{a}}{{R}_{c}}+{{R}_{b}}{{R}_{c}}}{{{R}_{a}}} & {} & left( 6 right)  end{matrix}]

Una vez más, un examen de las tres ecuaciones revela un patrón definido. Para conectar la resistencia Delta entre dos terminales cualesquiera, divida la resistencia Y conectada a la terminal opuesta a esas dos (terminal C para la resistencia entre A y B) por la suma de los productos de cada par de resistencias Y.

Una red Y también se conoce como red en estrella o red en T. Las Figuras 3 y 4 muestran redes Y rediseñadas en una forma ligeramente diferente.

Fig.3: Red Y (forma de T)

Higo. 4: red Y (forma de T)

Las redes delta también se conocen como redes de malla o redes pi. Las Figuras 5 y 6 muestran que las redes delta se vuelven a dibujar en una forma diferente.

Fig.5: Red Delta (forma Pi)

Fig.6: Red Delta (forma Pi)

Un caso particular

A veces nos encontramos con una situación en la que todas las resistencias conectadas en estrella son iguales y, de manera similar, las resistencias conectadas en delta son iguales, como por ejemplo:

_{${{R}_{a}}={{R}_{b}}={{R}_{c}}={{R}_{Y}}$}

Y

_{${{R}_{ab}}={{R}_{bc}}={{R}_{ac}}={{R}_{Delta }}$}

En este caso particular, la transformación es bastante fácil y se puede hacer usando la relación simple entre las resistencias conectadas en estrella y delta.

${{R}_{Delta}}=3{{R}_{Y}}$

Mediante el uso de la ecuación anterior, las transformaciones de estrella a delta y delta a estrella se pueden realizar fácilmente.

Procedimiento de transformación delta-estrella y estrella-triángulo

Paso 1:

Cuando comience con una red Delta, dibuje una red Y.

Cuando comience con la red Y, dibuje la red Delta.

2do paso:

Identifique las tres terminales correspondientes en cada red como A, B, etc.

Paso 3:

(a). Identifique las resistencias en la red Delta:

Resistencia entre los terminales A y B como R_{a B}

Resistencia entre los terminales A y C como R_{corriente alterna}

Resistencia entre los terminales B y C como R_{antes de Cristo}

(b). Identifique las resistencias en la red Y:

Resistencia conectada al terminal A como R_a

Resistencia conectada al terminal B como R_b

Resistencia conectada al terminal C como R_contra

Paso 4:

(a). Para la transformación de Delta a Y, sustituya los valores de resistencia de la red Delta en las Ecuaciones 1, 2 y 3 para obtener los valores de resistencia de la red Y.

(b). Para la transformación de Y a Delta, sustituya los valores de resistencia de la red Y en las Ecuaciones 4, 5 y 6 para obtener los valores de resistencia de la red Delta.

Ejemplo de una transformación Delta a Wye (estrella).

Convierta las resistencias conectadas en delta que se muestran en la Figura 2 anterior en una red Y. Luego vuelva a convertir para crear la fórmula. Toma R_{a B}=500Ω, R_{corriente alterna}= 400Ω, y R_{antes de Cristo}=300Ω.

La solución

Para la conversión de red Delta a Y:

Ecuación 1,

[begin{align}  & {{R}_{a}}=frac{{{R}_{ab}}{{R}_{ac}}}{{{R}_{ab}}+{{R}_{ac}}+{{R}_{bc}}}  & =frac{500times 400}{500+400+300}=166.7Omega  end{align}]

ecuación 2,

[begin{align}  & {{R}_{b}}=frac{{{R}_{ab}}{{R}_{bc}}}{{{R}_{ab}}+{{R}_{ac}}+{{R}_{bc}}}  & =frac{500times 300}{500+400+300}=125Omega  end{align}]

ecuación 3,

$begin{align} & {{R}_{c}}=frac{{{R}_{ac}}{{R}_{bc}}}{{R}_{ab}}+ { {R}_{ac}}+{{R}_{bc}}} & =frac{400times 300}{500+400+300}=100Omega end{align} $

Conversión de Y a Delta:

ecuación 4,

[begin{align}  & {{R}_{ab}}=frac{{{R}_{a}}{{R}_{b}}+{{R}_{a}}{{R}_{c}}+{{R}_{b}}{{R}_{c}}}{{{R}_{c}}}  & =frac{left( 166.7times 125 right)+left( 166.7times 100 right)+left( 125times 100 right)}{100}=500Omega  end{align}]

Ecuación 5,

$begin{align} & {{R}_{ac}}=frac{{{R}_{a}}{{R}_{b}}+{{R}_{a}}{{ R}_{c}}+{{R}_{b}}{{R}_{c}}}{{{R}_{b}}} & =frac{left( 166,7 veces 125 right)+left( 166.7times 100 right)+left( 125times 100 right)}{125}=400Omega end{align}$

Ecuación 6,

$begin{align} & {{R}_{bc}}=frac{{{R}_{a}}{{R}_{b}}+{{R}_{a}}{{ R}_{c}}+{{R}_{b}}{{R}_{c}}}{{{R}_{a}}} & =frac{left( 166,7 veces 125 right)+left( 166,7 times 100 right)+left( 125times 100 right)}{166,7}=300Omega end{align}$

Transformación delta a estrella (estrella) usando Matlab

Aquí resolveremos el mismo ejemplo anterior usando el código de Matlab.

clear all;close all;clc
% This code is written according to Figure 1 in the text. You can change
% it in case having different Delta-Wye Configurations
%% 
% Here, Insert Delta-Connection Resistance Values
R_ab=input('R_ab='); 
R_bc=input('R_bc=');
R_ac=input('R_ac=');
% Output is "Star Connection Resistances" as given in the text
[R_a,R_b,R_c]=delta2star(R_ab,R_bc,R_ac);

función delta2star.m

function[R_a,R_b,R_c]=delta2star(R_ab,R_bc,R_ac)
R_a=(R_ab*R_ac)/(R_ab+R_bc+R_ac);
R_b=(R_ab*R_bc)/(R_ab+R_bc+R_ac);
R_c=(R_ac*R_bc)/(R_ab+R_bc+R_ac);
fprintf('Delta Resistances t Star Resistancesn ')
fprintf('R_ab=%.2f t R_a=%.2f n',R_ab,R_a);
fprintf('R_bc=%.2f t R_b=%.2f n',R_bc,R_b);
fprintf('R_ac=%.2f t R_c=%.2f n',R_ac,R_c);
end

Resultados:

Resistencias estrella Resistencias delta
R_ab=500 R_a=166,67
R_bc=300 R_b=125.00
R_ac=400 R_c=100.00

La transformación estrella-triángulo se utiliza principalmente en redes puente donde las resistencias no están ni en serie ni en paralelo, como se muestra a continuación:

Las técnicas de análisis de circuitos como la superposición, el análisis de nodos, el análisis de mallas y el teorema del millón no se utilizan para resolver dichos circuitos. Por lo tanto, usamos tal transformación para convertir las redes de puentes en una forma simplificada.