Tiempo de respuesta del interruptor de segundo orden y evaluación de la estabilidad

Evaluación del tiempo de respuesta y la estabilidad del interruptor de segundo orden

En este artículo te aclararemos evaluación de la estabilidad del sistema de gestión de segundo orden y numerosas frases asociadas a tiempo de respuesta comparable a amortiguación (ζ), Tiempo de asentamiento (t_s), Tiempo de subida (t_r), Comparte la mayoría de los picos de solapamiento (% M_p), Tiempo de pico (t_p), Frecuencia de oscilación pura (ω_n), Frecuencia amortiguada de las oscilaciones (ω_d) y así sucesivamente.

1) Contemplar una actuación de segundo orden = (Ya sabes la razón por la que funciona el conmutador de segundo orden; la razón es que la mejor energía de "s" dentro del denominador es 2). Lo llamaremos sistema-1 en el siguiente diálogo.

El tipo normal de una actuación de segundo orden viene dado por

Si examinas el sistema-1 con el tipo habitual, encontrarás que el amortiguamiento 'ζ'= 0,2 (el amortiguamiento es una cantidad sin unidades), la frecuencia de oscilación pura 'ω_n= 4 rad/segundo.

A continuación se detallan las especificaciones de la zona horaria, sus definiciones, componentes y cálculos para el sistema en cuestión:

Tiempo de retardo (td):

Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance la mitad de su valor final desde el cero inmediato. Se denota por t_d.

t_d= = 0.285 segundos.

Tiempo de ascenso (tr):

El tiempo de subida se refiere al tiempo necesario para que una señal pase de un valor bajo especificado a un valor excesivo especificado. Si el tiempo del sistema no amortiguado es necesario para que la respuesta aumente del 0% al 100%, se conoce como tiempo de subida. Se denota por t_r.

t_r= = 0.452 segundos.

Tiempo de asentamiento (ts):

Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance el estado regular y se mantenga sobre las bandas de tolerancia especificadas sobre el valor final. Normalmente, las bandas de tolerancia son del 2% y del 5%. El tiempo de asentamiento se denota por t_s. En este documento, los componentes y el cálculo del tiempo de liquidación se basan en una banda de tolerancia del 2%.

t_s = = 5 segundos.

Comparte la mayoría de los picos de solapamiento (% Mp):

Es la distinción de la proporción entre el primer pico de respuesta temporal y el valor de salida en estado estacionario.

% M_p = = 52.66%

Tiempo de pico (tp):

El tiempo de altura es el tiempo necesario para que la respuesta alcance el pico primario de rebasamiento. El tiempo de asentamiento se denota por t_p.

t_p= = 0.802 segundos

Frecuencia amortiguada de las oscilaciones (ωd):

ω_d= = 3.919 rad/seg. Es lo mismo que el imaginario que realiza una parte de los polos del interruptor.

Los polos del interruptor actúan (raíces del denominador):

-0,8±j3,92; también conocida como la ecuación de las raíces de la traza.

En la figura 1, algunos de los valores calculados anteriormente se demuestran en un plano de fantasía (plano s), para que puedas entender cuál es la relación entre ellos.

La respuesta temporal del sistema-1, hacia la unidad de entrada de paso, es la que se demuestra en la figura-2,

A partir de la determinación de -2 y las definiciones de las especificaciones de respuesta temporal comparables al tiempo de retardo, el tiempo de subida, el tiempo de pico, etc., podrás comprender su significado. Los valores teóricos calculados se demuestran en la figura 2. El pico primario puede verse entre 1,4 y 1,6. El nivel preciso es 1,5266 (no se ha demostrado en la determinación), por lo que el %M_p es del 52,66%. Si calculas el intervalo de tiempo de 1 ciclo, devuélvelo, va a ser la frecuencia en Hertz, multiplícalo por 2π, ahora está en rad/seg; verás que es lo mismo que ω_d(Si generas este gráfico a partir de programas informáticos, puedes ampliar el gráfico y confirmar todos los valores comparables a %M_p, ω_d, t_p, t_r, t_detc.).

Para coger el periodo de tiempo fijando 't_s... "La referencia determina 3.

La respuesta temporal demostrada en la figura 2 se reproduce sencillamente en la figura 3, pero con un cambio en el eje y. En la figura 3, el eje y va de 0,98 a 1,02 (el 2% varía el valor final).

Tal vez supongas que el tiempo necesario hasta que todas las oscilaciones se amortiguan por completo (desaparecen) se conoce como tiempo de asentamiento; no, no es cierto. Las oscilaciones también pueden continuar después del tiempo de asentamiento. En el caso de la entrada escalonada, el tiempo necesario para bajar las oscilaciones dentro de los dos c.p. de variación de la entrada se conoce como tiempo de asentamiento. En este caso, el valor constante de la entrada es "1".

En la figura 3 se observa que después de 5 segundos las oscilaciones están dentro de las variaciones de dos c.p. del valor de entrada, por lo que el tiempo de asentamiento es de 5 segundos. La identidad se calcula teóricamente.

Por lo tanto, con las discusiones anteriores, es posible que necesites entender las numerosas especificaciones de la zona horaria.

Ahora, presta atención a los siguientes factores relacionados con la estabilidad:

1. Los métodos estables tienen una amortiguación constructiva, los marginalmente estables tienen una amortiguación nula y los inestables tienen una amortiguación desfavorable. En el caso actual, la amortiguación es de 0,2, por lo que el sistema es estable.
2. Si la amortiguación está entre cero y al menos uno, los polos del interruptor de bucle cerrado pueden ser complicados. Esto se conoce como un sistema no amortiguado. El sistema 1 es el ejemplo de un sistema amortiguado.
3. Si el amortiguamiento es uno, entonces se conoce como sistema críticamente amortiguado. Por ejemplo, el conmutador realiza = es un ejemplo de sistema muy amortiguado. Puedes encontrar que tiene 'ζ'= 1, 'ω_n= 4 rad/segundo. El sistema tiene dos raíces reales, cada una en "-4".
4. Si el amortiguamiento es múltiple, entonces se conoce como sistema sobreamortiguado (es decir, el amortiguamiento está de más). Los métodos severamente amortiguados y sobreamortiguados no tienen oscilaciones.

Cambio de actuación = es un ejemplo de sistema sobreamortiguado. Puedes encontrar que tiene 'ζ'= 1,5, 'ω_n= 4 rad/segundo. El sistema tiene dos raíces reales, cada una de las cuales es real y desigual.

• el sistema de gestión debe tener una amortiguación de 0,7-0,9. (En realidad, si la amortiguación es una, entonces es el mejor sistema, pero es bastante problemático realizar una amortiguación correcta. Supongamos que un sistema tiene un amortiguamiento de 0,2, entonces con la ayuda de los controladores PD, la compensación de plomo, etc., se puede aumentar el amortiguamiento. El diseño de los controladores también puede ser una cuestión de análisis ilimitado. El diseño debe ser tal que la amortiguación se eleve a 0,7-0,9 desde 0,2. Si la amortiguación se eleva a 0,99 o 1, entonces será mayor. Sin embargo, como se ha escrito antes, no se puede conseguir la amortiguación correcta y, si es múltiple, estará sobreamortiguada. Por tanto, es mayor mantener la amortiguación en 7-0,9.
• Si dibujas la respuesta temporal de un sistema severamente amortiguado y sobreamortiguado y la examinas, verás que el sistema sobreamortiguado tiene un tiempo de asentamiento más largo; por tanto, el sobreamortiguamiento no debería ser aceptable. La amortiguación real "1" no se puede mantener, por lo que la amortiguación apenas debe ser inferior a "1". En otras palabras, diremos que los polos del trabajo de conmutación del bucle cerrado (ecuación de las raíces de las trazas) deben ser complicados y tener una pequeña (pequeña) mitad imaginaria. Dentro del tiempo de respuesta del sistema, debe haber ligeras oscilaciones. Vale ω_d debe ser bajo, pero no cero.
• Si los polos están alejados del eje imaginario en el LHS, el sistema es extra estable, es decir, el valor de ζ ω_n debe ser excesivo (véase la figura 1); o diremos que el valor excesivo de ζ ω_n se traducirá en un tiempo de asentamiento bajo, un intervalo transitorio bajo y, por tanto, una mayor estabilidad.

Examinemos ahora numerosas segundas solicitudes para aclarar más la solidez.

2) Contempla otro interruptor (sistema-2) =

Sus polos (es decir, las raíces del denominador) son: -1.25 ±j3.80. ζ= 0,3125, ω_n= 4 rad/seg

En contraposición al paso unitario entra su respuesta temporal:

Ahora intenta examinar cada uno de los métodos: sistema-1 y sistema-2. ¿Qué sistema es más estable y por qué?

La respuesta es que el sistema 2 tiene mayor estabilidad. Las explicaciones son las siguientes:

• Los polos del interruptor de bucle cerrado se alejan del eje imaginario en comparación con el sistema-1 (es decir, el sistema-2 tiene una mitad real extra desfavorable).
• La amortiguación es mayor que la del sistema-1.
• A partir de la respuesta temporal se puede ver que el sistema-2 tiene muchos menos picos de sobrecalentamiento y tiempo de asentamiento (intervalo transitorio) en comparación con el sistema -1.

3) Ahora contempla otro cambio (sistema-3) = .

Sus polos son: 0±j4; amortiguación 'ζ'= 0, frecuencia de oscilación pura 'ω_n= 4 rad/segundo.

Su respuesta temporal con respecto al paso unitario introducido es:

Se trata de un sistema marginalmente estable; adicionalmente se conoce como sistema no amortiguado. Eres consciente de ello, ¿por qué? Las explicaciones son:

• Los polos están en el eje imaginario (la mitad real es cero)
• A partir de la respuesta temporal, puedes ver que las oscilaciones no decaen ni aumentan (lo que se conoce comúnmente como oscilaciones sostenidas)
• La amortiguación es cero
• Dentro del rango de rendimiento, un coeficiente (s¹ falta)
• Si se utiliza el criterio de Routh Hurwitz en el denominador de un intercambio de rendimiento, se puede encontrar que una fila es cero.

4) Ahora contempla otro cambio (sistema-4) = .

Su respuesta temporal a la entrada de la unidad se demuestra en la figura 6, como se indica a continuación:

Es un sistema inestable, debido a las siguientes causas:

• Si se calculan los polos, se puede comprobar que los polos están en el aspecto de la mano adecuada (RHS) del eje imaginario (una parte real de los polos es constructiva).
• A partir de la respuesta temporal, se observa que las oscilaciones son crecientes.
• La amortiguación es desfavorable.
• Dentro del denominador del conmutador, hay un cambio de signo.
• Además, a partir del criterio de Routh Hurwitz, se puede comprobar que el sistema es inestable.

5) Contempla ahora otro cambio =

Suele ser un sistema inestable, debido a las siguientes causas. Los polos de esta técnica son -10, 0,75±j3,93. Aunque un polo esté en el LHS del plano s para la solidez del sistema, todos los polos deben estar en el LHS, ningún polo puede estar en el RHS del plano s.

Para comprobar la solidez de todos los métodos mencionados, puede haber una metodología más; se trata del cálculo del margen de adquisición (GM) y del margen parcial (PM). Ahora hablemos de esta metodología.

El sistema 1 puede representarse de la siguiente manera:

(Se supone que es un sistema de sugerencias unitarias)

El funcionamiento de tu interruptor de bucle abierto (también conocido como adquisición de bucle abierto) es G(s)H(s)=

Tu GM y PM pueden descubrirse a partir del diagrama de cabra, el diagrama polar o instantáneamente desde un programa de software comparable a MATLAB.

Se comprueba que el GM y el PM del sistema-1 son: GM= ∞ db PM= 22,6°.

Del mismo modo, para el sistema-2, el interruptor de bucle abierto resulta: G(s)H(s)=

Su GM=∞ db y PM= 34,6 °.

En cada una de las circunstancias anteriores, el GM no puede ser contrastado (ya que cada uno de los métodos tiene un GM infinito), sin embargo, se puede observar que el PM es mayor en el caso del sistema-2; es una razón más por la que el sistema-2 tiene mayor estabilidad.

Para el sistema-3, el interruptor de bucle abierto funciona: G(s)H(s)=

Es GM= PM= 0; ésta es otra razón por la que el sistema-3 es marginalmente estable.

Para el sistema-4, el interruptor de bucle abierto realiza G(s)H(s)=

Uno de los polos de tu interruptor de circuito abierto actúa sobre el RHS, en tales circunstancias el cálculo de GM, PM no debería ser una metodología aceptable para inspeccionar la solidez.

Ahora ten en cuenta la siguiente afirmación:

El margen de adquisición (GM) y el margen parcial (PM) son constructivos si el sistema es estable, desfavorables si el sistema es inestable y cada uno es cero si el sistema es marginalmente estable. Cuanto más altos sean el GM y el PM, más estable es el sistema (Esta es la explicación, la medición del GM y el PM se conoce como estabilidad relativa).

[Above statement is true if not a single pole of the open loop transfer function is in RHS of s-plane.  Let, in a system In such type of systems, above statement of GM & PM is not true. In this case, open loop transfer function has one pole at RHS of s-plane, but the system is stable. You can write its characteristics equation and verify it through Routh Hurwitz Criterion. Explanation of Such type of systems is given in the Nyquist Stability Criterion].

Así que con la definición anterior de GM y PM, puedes examinar la solidez de los métodos 1-3.

La evaluación de GM y PM se conoce como metodología de respuesta en frecuencia. En los libros de texto de ingeniería de gestión, encontrarás que la respuesta puntual y la respuesta en frecuencia son capítulos separados; sin embargo, para una mayor comprensión de la estabilidad y la comparabilidad de los distintos métodos, la GM y la PM se incluyen en este documento.

Sobre el Creador

El Dr. Vipin Jain se licenció en Ingeniería en 1992 en la Universidad de Nagpur, obtuvo el título de Doctor en Ciencias en 2007 y el de Doctor en 2017 en la Universidad de Delhi. Tiene una larga experiencia industrial y docente. Es miembro de la escuela dentro de la División de Ingeniería Eléctrica del Instituto Bharat de Conocimiento, Meerut (UP), India, desde diciembre de 2007. Hasta ahora, ha impreso más de veinte documentos de análisis. Es un auditor energético autorizado por la Oficina de Eficiencia Energética de las autoridades de la India.

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