Definición del criterio de Nyquist
El criterio de Nyquist es una herramienta en el dominio de la frecuencia utilizada en el estudio de la estabilidad. Para utilizar este criterio, los datos de respuesta de frecuencia de un sistema deben presentarse como un gráfico polar en el que la amplitud y el ángulo de fase se expresan en función de la frecuencia.
teorema de nyquist
En 1932, H. Nyquist usó un teorema de cauchy sobre la función de variables complejas para desarrollar un criterio de estabilidad del sistema. El teorema de Cauchy se aplica al mapeo de contornos de un plano complejo a otro plano complejo. Como estamos interesados en la presencia de las raíces de la ecuación característica en la mitad derecha del plano s, mapearemos los contornos alrededor del semiplano derecho. La ecuación característica
$1+GH(s)=0$
¿Es la función F(s) de la variable compleja s igual a cero, es decir
$F(s)=1+GH(s)=0$
La ecuación anterior también se puede expresar como
[F(s)=frac{K(s+{{z}_{1}})(s+{{z}_{2}})cdots (s+{{z}_{n}})}{(s+{{p}_{1}})(s+{{p}_{2}})cdots (s+{{p}_{m}})}=0]
donde la -zyoson las raíces de la ecuación característica y el –pyoLos polos de la correspondiente función de transferencia en lazo abierto GH(s) son . Primero mapeamos los contornos del plano s en el plano (1+GH), luego, por conveniencia, omitimos el 1 de (1+GH) y mapeamos los contornos en el plano GH. Los contornos obtenidos proporcionan información sobre raíces que tienen una componente positiva real, es decir, ubicadas en el semiplano derecho.
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teorema de cauchy
El teorema de Cauchy puede proporcionar información sobre el número de ceros de una función F(s) que tiene partes reales positivas. En nuestro estudio de estabilidad, aplicaremos el teorema a la ecuación característica del sistema representado por
$F(s)=1+GH(s)=0text{ (1)}$
Cuando F(s) a menudo se da como
[F(s)=frac{K(s+{{z}_{1}})(s+{{z}_{2}})cdots (s+{{z}_{n}})}{(s+{{p}_{1}})(s+{{p}_{2}})cdots (s+{{p}_{m}})}=0text{ (2)}]
Aplicado a las ecuaciones (1) y (2), el teorema de Cauchy es:
Ya sea:
- Mapeamos un contorno en el plano s que interseca los ceros z y los polos p de F(s),
- El contorno no pasa por ningún polo o cero F(s), y
- La diagonal a lo largo del contorno en el plano s es en el sentido de las agujas del reloj,
Asi que,
El contorno (o imagen) correspondiente en el plano F(s) rodea el origen N=ZP varias veces en el sentido de las agujas del reloj.
El teorema se resume en
N=ZP (3)
Dónde
P= número de polos F(s)
Z= número de ceros (raíces) de F(s)
N = número de círculos en el sentido de las agujas del reloj del origen en el plano F(s).
Es conveniente mapear con GH(s) en lugar de 1+ GH(s) =F(s). Para el mapeo de GH(s), se aplica la ecuación (3), si hacemos que N = el número de círculos en el sentido de las manecillas del reloj del punto -1 en el plano GH. Para la mayoría de las aplicaciones, conocemos las GH(s) en forma factorizada:
$GH(s)=frac{K(s+{{s}_{1}})(s+{{s}_{2}})cdots }{(s+{{p}_{1}}) (s+{{p}_{2}})cpuntos}$
donde -syoque los ceros de la función de transferencia en lazo abierto. Al adquirir la imagen en el plano GH en lugar del plano F(s), evitamos sumar 1 a cada cálculo.
Criterio de estabilidad de Nyquist
La estabilidad del sistema se determina mirando en la mitad derecha del plano cero s (raíces) de la ecuación característica:
$F(s)=1+GH(s)=0$
Si no hay raíces en el semiplano derecho, entonces el sistema es estable.
Ahora estableceremos el procedimiento para encontrar el semiplano correcto y relacionar la estabilidad del sistema con la gráfica polar. El eje jω positivo en el plano s, utilizado para el plano polar, se extenderá a un contorno alrededor de todo el semiplano derecho.
El esquema, que se muestra en la siguiente figura, consta de tres partes.
Fig.1: Curva de Nyquist
- Eje jw positivo
- pin jw negativo
- Un semicírculo de radio infinito R
El contorno de Nyquist
El contorno completo, que incluye todo el semiplano derecho, se denomina contorno de Nyquist.
Podría usarse un radio más pequeño si supiéramos que la ecuación característica no tiene raíz más allá del semicírculo.
Usamos el plan GH(s), tal como está
$F(s)-1=GH(s)$
Mapeo del contorno de Nyquist del plano s al plano GH. Este cambio en la función de mapeo es conveniente porque normalmente conocemos GH(s) en forma factorial como,
$GH(s)=frac{K(s+{{s}_{1}})(s+{{s}_{2}})cdots }{(s+{{p}_{1}}) (s+{{p}_{2}})cpuntos}$
Criterio de estabilidad de Nyquist
El criterio de Nyquist para la estabilidad ahora se puede establecer como:
Cuando el contorno de Nyquist se mapea en el plano GH mediante la función de transferencia de lazo abierto GH(s) de un sistema, se aplica una de dos situaciones:
Escenario 1:
Cuando no hay polos GH en la mitad derecha del plano s, el servosistema correspondiente es estable a menos y hasta que el control de imagen de contorno de Nyquist pase alrededor del punto (-1+d0) en el plano GH. .
Escenario 2:
Cuando el número de polos GH en la mitad derecha del plano s no es cero, el servosistema correspondiente es estable si, y solo si, el contorno de la imagen del contorno de Nyquist está alrededor de (-1 + j0) puntos en sentido antihorario de una cantidad igual al número de polos GH que tienen partes reales positivas.
La base de estos dos casos es:
N=ZP
En el caso 1, donde P = 0, tenemos N = Z, es decir, el número de ceros es igual al número de círculos. Para un sistema estable, N debe ser cero.
En el caso 2, N=ZP da N=-P, ya que Z=0 para un sistema estable.
Definición de diagrama de Nyquist
Un diagrama de Nyquist, también conocido como diagrama de polos, es la respuesta de frecuencia de un sistema lineal, lo que significa que reemplazamos la función de transferencia G(s) con jω.
Para trazar un gráfico polar para la función de transferencia G(jω) para el rango de frecuencia de 0 a infinito, debemos tener en cuenta los siguientes cuatro puntos importantes;
- El comienzo de la trama donde ω=0
- Fin de la trama donde ω=∞
- Donde la trama cruza el eje verdadero, es decir
Imagina (G(jω))=0
- Donde la trama cruza el eje de la imagen, es decir,
Verdadero (G(jω))=0
Un ejemplo del criterio de estabilidad de Nyquist
Considere el sistema de primer orden
[G(s)=frac{1}{1+sT}]
donde T es la constante de tiempo.
Expresemos la función G(s) en términos de respuesta de frecuencia gramo (jω) por sustitución s = jω:
$G(jomega )=frac{1}{1+jomega T}$
La cantidad |G (jω)| obtenido como:
$izquierda| G(jomega ) right|=frac{1}{sqrt{1+{{omega }^{2}}{{T}^{2}}}}$
El grado de G (jω), expresado por φ, se calcula de la siguiente manera:
$ángulo G(jomega )=-arctan(omega T)$
El comienzo de la trama donde ω=0
$izquierda| G(jomega ) right|=frac{1}{sqrt{1+0}}=1$
$phi ={{tan }^{-1}}left( frac{0}{1} right)=0$
Fin del lugar del paquete ω=∞
$izquierda| G(jomega ) right|=frac{1}{sqrt{1+infty }}=0$
$phi ={{tan }^{-1}}left( frac{-infty}{1} right)=-{{90}^{centerdot }}$
La parte media de la gráfica donde ω = 1/T
$izquierda| G(jomega ) right|=frac{1}{sqrt{1+1}}=frac{1}{sqrt{2}}$
$phi ={{tan }^{-1}}left( frac{-1}{1} right)=-{{45}^{centerdot }}$
Editemos los puntos anteriores juntos,
| El valor de ω | $izquierda| G(jomega) right|$ | $ángulo G(jomega)$ |
| ω=0 | 1 | 0 |
| ω = 1/T | $frac{1}{sqrt{2}}$ | $-{{45}^{centerdot}}$ |
| ω=∞ | 0 | $-{{90}^{centerdot}}$ |
Entonces, para el sistema de primer orden, el polo blanco se verá así:
Fig.2: Diagrama polar para el sistema de primer orden
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