Diagrama de BodeMATLAB | La función de transferencia del diagrama de cadera.

Definición de diagrama de bode

HW Bode introdujo un método para presentar la información relacionada con un gráfico polar de la función de transferencia GH(s), en realidad la respuesta de frecuencia GH(jω), ya que había dos gráficos con la frecuencia angular en el eje común El primer gráfico muestra la Talla de la función de transferencia en función de ω, y el segundo gráfico muestra la paso en función de ω. Este par de parcelas se llama Un diagrama de árbol o un diagrama de leche..

La magnitud de la función de transferencia se expresa como decibelios (dB)la fase en grados y su parámetro común frecuencia que se representa en una escala logarítmica en radianes. A veces llamado el tamaño de una función de transferencia Ganar y la trama correspondiente como ganancia de tierra.

Ventajas del Diagrama de Bode

1. Una ventaja aparente del diagrama de Bode es la relativa facilidad con la que se obtiene.
2. Otra ventaja es que esta técnica es factible para frecuencias más bajas, donde es difícil medir la diferencia de fase entre las señales de entrada y salida.
3. Una tercera ventaja proviene de la introducción de los logaritmos, que reducen el proceso de multiplicación de dos funciones de transferencia a la suma.

Frecuencia de esquina o punto de ruptura

En un diagrama de Bode, una asíntota de baja frecuencia (es decir, ω<1/T) et asymptote haute fréquence (c'est-à-dire ω>>1/T) cortado en la línea de 0 decibelios (dB) donde ω=1/T, esta es la frecuencia conocida como frecuencia de esquina o punto de ruptura.

Diagrama de Bode de Matlab

El diagrama de Bode o diagrama de función de transferencia se puede construir combinando las funciones de transferencia de los siguientes factores iniciales.

1. Descargar factor K
2. Complementario o diferenciador
3. Compensación simple o progresión simple
4. Desplazamiento cuadrado o avance cuadrado

Arriba discutiremos los factores subyacentes uno por uno:

Descargar factor K

La constante K se puede considerar como un número complejo expresado en forma polar con magnitud K y ángulo 0^. si K es positivo o -180^. si K es negativo. Para el factor de ganancia K, el diagrama de Bod se obtiene como:

Si la ganancia de bucle está abierta

$Gizquierda( jomega derecha)Hizquierda(jomega derecha)=K$

Así es Volumen (dB) sí

[{{left| Gleft( jomega  right)Hleft( jomega  right) right|}_{dB}}=20logleft| K right|=text{Constant}]

Y su La licenciatura sí

[angle G(jomega )H(jomega )=left{ begin{matrix} {{0}^{centerdot }} & K>0  -{{180}^{centerdot }} & K<0  end{matrix} right.]

El valor en decibelios es positivo cuando la amplitud de la constante es mayor a 1 y negativa cuando es menor a 1. Un número igual a 1 en decibelios tiene valor 0.

La gráfica de magnitud logarítmica es una línea recta horizontal para un factor de ganancia K con una magnitud de 20logk decibelios. Al cambiar el valor de ganancia k en la función de transferencia, la curva de volumen logarítmico sube o baja en una cantidad proporcional. El factor de ganancia k no tiene efecto sobre la curva de fase del diagrama de Bode.

Gráfica de Matlab para el factor de ganancia constante K

Aquí tenemos que aplicar el factor de ganancia K del diagrama de Bode para la comprensión completa de los lectores.

% Bode Plot for Constant Gain Factors K=4,10,12

clear all;close all;clc

num1 = 4;

den = [1];

sys1 = tf(num1,den);

grid;

bodeplot(sys1)

hold on

num2 = 10;

den = [1];

sys2 = tf(num2,den);

grid;

bodeplot(sys2)

hold on

num3 = 20;

den = [1];

sys3 = tf(num3,den);

grid;

bodeplot(sys3)

grid on

hold off

legend('K=4','K=10','K=12','Orientation','horizontal');

Gráfico para el factor de ganancia

Fig.1: Gráfico del factor de ganancia K

Complementario y diferenciador

El integrador y el diferenciador puros están representados por la función de transferencia 1/s y s respectivamente. Los diagramas de Bode se obtienen a partir de la correspondiente función de respuesta en frecuencia 1/jω y jω.

Para el diferenciador, el diagrama de Bode se obtiene como:

Si la ganancia de bucle está abierta

$Gleft( jomega right)Hleft( jomega right)=jomega $

Así es Volumen (dB) sí

[{{left| Gleft( jomega  right)Hleft( jomega  right) right|}_{dB}}=20logleft| jomega  right|=20log(omega )]

Y su La licenciatura sí

[angle G(jomega )H(jomega )=angle jomega ={{90}^{centerdot }}]

Cuando dibujamos el diagrama de Bode para el diferenciador, podemos notar que el diagrama de magnitud es una línea recta con una pendiente de +20 dB/década. Aunque el gráfico de fase es una línea recta con un ángulo de 90^de.

Gráfico de Matlab para diferenciador

Aquí hemos implementado el diagrama de Bode de un diferenciador para la completa comprensión de los lectores.

% Bode Plot for Differentiator

clear all;close all;clc

% Transfer function

K = [1 0];

T = 1;

num = [K];

den = [T];

H = tf(num, den)

% Bode Plot

grid on

bode(H);

Camino para un diferenciador

Fig.2: Gráfico del diferenciador

Lo mismo se aplica a ComplementarioEl diagrama de Bod se obtiene de la siguiente manera:

Si la ganancia de bucle está abierta

$Gleft( jomega right)Hleft( jomega right)={}^{1}/{}_{jomega }$

Así es Volumen (dB) sí

${{izquierda| Gleft( jomega right)Hleft( jomega right) right|}_{dB}}=20logleft| frac{1}{jomega } right|=20log(1)-20log(omega )=-20log(omega )$

Y su La licenciatura sí

[angle G(jomega )H(jomega )=angle frac{1}{jomega }=-{{90}^{centerdot }}]

Cuando dibujamos el diagrama de Bode para el integrador, podemos notar que el diagrama de magnitud es una línea recta con una pendiente de -20 dB/década. Mientras que el gráfico de fase es una línea recta de ángulo de -90^de.

Diagrama de Matlab para el integrador

Aquí hemos aplicado el diagrama de Bode de Integrator para una comprensión completa de los lectores.

% Bode Plot for Integrator

clear all;close all;clc

% Transfer function

K = [1];

T = 1;

num = [K];

den = [T 0];

H = tf(num, den)

% Bode Plot

grid on

bode(H)

Pista para el integrador

Fig.3: Gráfico para el integrador

Compensación simple o progresión simple

Estos diagramas de Bode provienen de redes de etapa tardía o etapa temprana cuyas funciones de transferencia son 1/Ts+1 y Ts+1 respectivamente.

Para una red de cambio de fase simple, el diagrama de Bode se obtiene de la siguiente manera:

Si la ganancia de bucle está abierta

[Gleft( jomega  right)Hleft( jomega  right)=frac{1}{1+jomega T}]

donde T es una constante real.

Así es Volumen (dB) sí

[{{left| Gleft( jomega  right)Hleft( jomega  right) right|}_{dB}}=20logleft| frac{1}{1+jomega T} right|=20logleft| 1 right|-20logleft| 1+jomega T right|=-20log(sqrt{{{1}^{2}}+{{omega }^{2}}{{T}^{2}}})]

Para Parcela de tamaño

Para asíntota de baja frecuencia (cuando s→0)

Cuando ω<<1/T (muy pequeño, como acercándose a cero), sería:

[|G(jomega )H(jomega ){{|}_{dB}}=20text{ }log(1)=0dB]

Esto significa que el gráfico de magnitud sería una línea recta a 0 dB a baja frecuencia (ω<<1/T).

Asimismo, para la asíntota de alta frecuencia (cuando s → ∞)

Cuando ω>>1/T (muy grande, ya que llega al infinito), sería:

[|G(jomega )H(jomega ){{|}_{dB}}=-20text{ }log(omega T)]

Esto significa que el gráfico de magnitud sería una línea recta con una pendiente de -20 dB/década en alta frecuencia (ω>>1/T).

Y su La licenciatura sí

[angle G(jomega )H(jomega )=angle frac{1}{1+jomega T}=-{{tan }^{-1}}(omega T)]

Para La licenciatura tierra

Cuando ω<<0.1/T, entonces

[angle G(jomega )H(jomega )={{0}^{centerdot }}]

Lo que significa que el gráfico de fase sería una línea recta en 0^. a ω=0,1/T.

Cuando ω=0.1/T, entonces

[angle G(jomega )H(jomega )=-{{45}^{centerdot }}]

Lo que significa que la gráfica de fase sería una línea recta con -45^. /diez años cuestan hasta ω=10/T.

Cuando ω>> 10/T, entonces

[angle G(jomega )H(jomega )=-{{90}^{centerdot }}]

Lo que significa que la gráfica de fase sería una línea recta en -90^de.

Gráfico de Matlab para una red de cambio de fase simple

Aquí hemos implementado el diagrama de Bode de la red de fase débil simple para brindar una comprensión completa a los lectores.

% Bode Plot for Phase-Lag Network

clear all;close all;clc

% Transfer function

K = [1];

T = 1;

num = [K];

den = [T 1];

H = tf(num, den)

% Bode Plot

grid on

bode(H)

grid

Gráfico para una red de cambio de fase simple

Fig.4: Gráfico de una red de cambio de fase simple

De manera similar, para una fase simple de pre-rejilla, el diagrama de Bode se obtiene como:

Si la ganancia de bucle está abierta

$Gleft( jomega right)Hleft( jomega right)=1+jomega T$

donde T es una constante real.

Así es Volumen (dB) sí

[{{left| Gleft( jomega  right)Hleft( jomega  right) right|}_{dB}}=20logleft| 1+jomega T right|=20log(sqrt{{{1}^{2}}+{{omega }^{2}}{{T}^{2}}})]

Para gráfico de tamaño

Para asíntota de baja frecuencia (cuando s→0)

Cuando ω<<1/T (muy pequeño, como acercándose a cero), la cantidad sería allá:

[|G(jomega )H(jomega ){{|}_{dB}}=20text{ }log(1)=0dB]

Esto significa que el gráfico de magnitud sería una línea recta a 0 dB a baja frecuencia (ω<<1/T).

Asimismo, para la asíntota de alta frecuencia (cuando está apagado → ∞)

Cuando ω>>1/T (muy grande, ya que llega al infinito), sería:

[|G(jomega )H(jomega ){{|}_{dB}}=20text{ }log(omega T)]

Esto significa que el gráfico de magnitud sería una línea recta con una pendiente de +20 dB/década en alta frecuencia (ω>>1/T).

Y su La licenciatura sí

Lo que significa que la gráfica de fase sería una línea recta con +45^. /diez años cuestan hasta ω=10/T.

Cuando ω>> 10/T, entonces

[angle G(jomega )H(jomega )={{90}^{centerdot }}]

Lo que significa que la gráfica de fase sería una línea recta a 90^de.

Gráfico de Matlab para una red de conductores de fase simple

Aquí hemos implementado el diagrama de Bode de la red Simple Phase Lead para brindar una comprensión completa a los lectores.

% Bode Plot for Phase-Lead Network

clc

% Transfer function

K = [1];

T = 1;

num = [K 1];

den = [T];

H = tf(num, den)

% Bode Plot

grid on

bode(H)

grid

Trazar para una red de una sola etapa

Fig.5: Trace su cuadrícula inicial paso simple

Factor cuadrático (segundo orden)

La función de transferencia para una función cuadrática ordinaria se puede escribir como

[Gleft( jomega  right)Hleft( jomega  right)=frac{omega _{n}^{2}}{{{s}^{2}}+2zeta {{omega }_{n}}s+omega _{n}^{2}}]

el es Parcela de tamaño se obtiene de

[|G(jomega )H(jomega ){{|}_{dB}}=20log left| frac{omega _{n}^{2}}{{{left( jomega  right)}^{2}}+2zeta {{omega }_{n}}left( jomega  right)+omega _{n}^{2}} right|]

[|G(jomega )H(jomega ){{|}_{dB}}=20log left| frac{1}{{{left( {}^{jomega }/{}_{{{omega }_{n}}} right)}^{2}}+2zeta {{omega }_{n}}left( {}^{jomega }/{}_{{{omega }_{n}}} right)+1} right|]

La ecuación anterior se puede simplificar de la siguiente manera

[|G(jomega )H(jomega ){{|}_{dB}}=-20~log{{left[ {{left( 1-{{left( {}^{omega }/{}_{{{omega }_{n}}} right)}^{2}} right)}^{2}}+{{left( {}^{2zeta omega }/{}_{{{omega }_{n}}} right)}^{2}} right]}^{{}^{1}/{}_{2}}}]

Y el gráfico de grado se obtiene de

[angle G(jomega )H(jomega )=-ta{{n}^{-1}}left( frac{{}^{2zeta omega }/{}_{{{omega }_{n}}}}{1-{{left( {}^{omega }/{}_{{{omega }_{n}}} right)}^{2}}} right)]

En la expresión anterior, la relación de amortiguamiento ζ es un parámetro y la frecuencia se normaliza a ω / ω_no .

El diagrama de Bode que se muestra en la siguiente figura se obtuvo de Matlab Software. Las aproximaciones asintóticas se trazaron con dos líneas: una para el valor de ω/ ω_no <<1 y uno para ω/ ω_no >>1.

A bajas frecuencias, es decir, para valores de ω tales que ω<< ω_noel tamaño en decibeles se puede aproximar por

Lo que significa que el gráfico de fase sería una línea recta en 0^de.

Cuando ω>> ω_no después

$ángulo G(jomega )H(jomega )=-{{180}^{centerdot }}$

Lo que significa que la gráfica de fase sería una línea recta a 180^de.

Cuando ω= ω_no después

$ángulo G(jomega )H(jomega )=-{{90}^{centerdot }}$

Lo que significa que la gráfica de fase sería una línea recta con -90^. / pendiente de la década.

Gráfico de Matlab para el sistema de segundo orden

Aquí hemos implementado el diagrama de Bode de una red de segundo orden para comprender completamente a los lectores.

%Bode-Plot for Second-Order System

clear all;close all;clc

 fn = 1; % Define natural frequency (Hz)

 wn = 2*pi*fn; % Natural frequency conversion in rad/s

 Zeta = 0.05; % Damping Factor

 Num = [0 0 wn^2]; % Numerator

 Den = [1 2*Zeta*wn wn^2]; % Denominator

 Gs= tf(Num,Den) % Transfer Function

bode(Gs); %Bode-Plot

grid on

Gráfico para el sistema de segundo orden

Fig.6: Gráfico para el sistema de segundo orden

Condiciones especiales

Hay ciertos términos con los que debemos estar familiarizados para comprender completamente la trama admirable.

Frecuencia de cruce de fase

Esta es la frecuencia, donde ocurrirá el cambio de -180 grados^de.

Buscar frecuencia de cruce

Es la frecuencia a la que la relación de amplitud se convierte en 1 o el módulo logarítmico de la función de transferencia se convierte en 0.

Diagrama de boda y estabilidad.

Una ecuación característica se puede escribir como,

$1+GHizquierda(sderecha)=0$

Dónde

$GHleft(sright)=-1$

Y en el dominio de la frecuencia,

$GHizquierda(jomegaderecha)=-1$

La distancia entre -1 y la función de transferencia en lazo abierto GH (jω) mide la estabilidad del sistema. Esta distancia se puede medir en términos denominados margen de fase y margen de ganancia.

El margen de fase y ganancia generalmente se mide a partir de la respuesta de bucle abierto y no se puede obtener directamente de la respuesta de frecuencia del sistema de bucle cerrado.

ganancia marginal

Puede describirse como un aumento en la ganancia del sistema en lazo abierto |GH (jω)| cuando el grado del sistema es 180^. Esto conducirá a una estabilidad marginal del sistema.

Para medir el margen de beneficio,

1. Encuentre el punto donde la respuesta de fase del sistema cruza -180^.
2. En un momento dado, encuentre la respuesta de amplitud
3. La distancia por debajo de 0 dB en este punto representa el margen de ganancia del sistema.

margen de grado

Para medir el margen de grados,

1. Encuentre el punto donde la amplitud de bucle abierto del sistema cruza 0 dB
2. En el mismo punto, obtenga la respuesta de grado
3. La distancia por encima de -180^. en este punto, el margen de fase del sistema muestra

Para una comprensión más completa, consulte la solución de ejemplo para un diagrama de Bode usando Matlab.