Criterio de estabilidad de Nyquist - Ejemplos y codificación en MATLAB

Criterio de estabilidad de Nyquist - Código MATLAB con ejemplos

O Criterio de Nyquist se utiliza ampliamente en la ingeniería electrónica y de sistemas de gestión, además de en otros campos, para diseñar y analizar técnicas con sugerencias. Aunque Nyquist es, sin duda, una de las evaluaciones de estabilidad más comunes, no deja de estar limitada a las técnicas lineales y variables en el tiempo (LTI).

El uso más típico de los gráficos de Nyquist es evaluar la solidez de un sistema con sugerencias. En coordenadas cartesianas, la mitad real del rendimiento del interruptor se representa en el eje X. La mitad imaginaria se representa en el eje Y. La frecuencia se barre como un parámetro, dando lugar a un gráfico por frecuencia.

El criterio de estabilidad de Nyquist puede expresarse como

Z = N+P

El lugar: Z= variedad de raíces de 1+G(s)H(s) dentro de la vertiente derecha (RHS) del plano s (Se conoce comúnmente como ecuación de la traza cero)

N=variedad de recinto de nivel esencial 1+j0 en una trayectoria en el sentido de las agujas del reloj

P= variedad de polos de conmutación en bucle abierto (OLTF) [i.e. G(s)H(s)] en el plano s RHS.

La situación anterior (es decir, Z=N+P) es legítima para todas las técnicas, ya sean seguras o inestables.

Ahora vamos a aclarar este criterio con los siguientes ejemplos:

Instancia 1:

Piensa en un interruptor de circuito abierto (OLTF) como uno:Llamémoslo sistema-1 dentro del siguiente diálogo. ¿Es un sistema seguro o inestable? Tal vez algunos de vosotros digáis que es un sistema inestable debido a que un polo está a +3, pero sin duda hay que saber que la estabilidad dependerá del denominador de un interruptor de bucle cerrado;Si alguna de las muchas raíces del denominador de un interruptor de bucle cerrado operan (conocidas adicionalmente como raíz de la ecuación de la traza; o digamos que los polos del interruptor de bucle cerrado operan) está en el RHS del plano s, entonces el sistema es inestable. Por lo tanto, en el caso anterior, el polo en +3 intentará entregar el sistema en la dirección de la inestabilidad, aunque no es obligatorio que el sistema sea inestable. En primer lugar, veamos si este método es seguro o no, y luego hablemos del Criterio de Estabilidad de Nyquist.

• Todo el sistema de gestión del que hablamos en este caso está probado en Determine-1 [assuming that it is a unity feedback control system; i.e. H(s)=1].

Hacia la unidad entra su respuesta temporal se demuestra en Determina-2.

Desde Determine-2, se puede entender simplemente que el sistema es seguro.

• La ecuación de rastreo de un sistema de gestión se da como

1+G(s)H(s)=0,

Así, en esta ecuación de trazado del sistema es

o,

s³+ 15s²+ 26s+10 = 0

Sus raíces son: -13,0691, -1,3740, -0,5569; como todas las raíces están en la vertiente izquierda (LHS) del plano s, el sistema es seguro.

• Desde Criterio de Routh Hurwitz además, se puede comprobar su estabilidad.

De la Determina-2 se desprende que el sistema no tiene oscilaciones. La razón es que se trata de un sistema sobreamortiguado. Los polos en '-13,0691' pueden ignorarse (los polos alejados del eje imaginario tienen un efecto mucho menor, mientras que los polos cercanos al eje imaginario tienen un efecto extra; de ahí que los polos cercanos al eje imaginario se conozcan adicionalmente como polos dominantes); por tanto, el sistema restante es un sistema de gestión de segundo orden y ahora las dos raíces restantes son totalmente diferentes y no tienen la mitad imaginaria, por lo que el sistema está sobreamortiguado. Para entender el sistema de sobreamortiguación consulta el artículo Tiempo de respuesta del interruptor de segundo orden y evaluación de la estabilidad (O, puedes entenderlo así adicionalmente, ignorar dos polos -13,0691, -1,3740, contemplar sólo un polo -0,5569, ya que es el polo dominante. Ahora es el primer sistema de gestión de órdenes o dice que se ejecuta la primera orden comercial. La respuesta probada en el tiempo en Determine-2 es similar a la respuesta del interruptor de primer orden ejecutado para el paso de entrada)

Dentro del artículo Respuesta temporal del interruptor de segundo orden Evaluación del rendimiento y la estabilidad, se ha demostrado que el margen de adquisición (GM) y el margen parcial (PM) son relativos a la estabilidad del sistema.

Si el margen de adquisición (GM) y el margen parcial (PM) son constructivos, el sistema es seguro, si son desfavorables, el sistema es inestable y si cada uno de ellos es cero, el sistema es marginalmente seguro. Cuanto más altos sean el GM y el PM, más seguro es el sistema.

Sin embargo, la afirmación anterior es cierta si no hay un solo polo del interruptor de bucle abierto operando en el RHS del plano s. En el sistema-1 un polo está en "+3", es decir, un polo del interruptor de bucle abierto actúa en el plano s RHS; en este tipo de técnicas de trazado de Nyquist e Criterio de estabilidad de Nyquist es una herramienta muy buena para evaluar un sistema.

El gráfico de Nyquist del sistema-1 es el siguiente:

A partir de la OLTF, puedes saber que P=1, (un polo de la OLTF está en el RHS del plano s)

N=-1, N es la variedad de cerramiento del nivel esencial 1+j0 en una trayectoria en el sentido de las agujas del reloj, en la Determinación-3, un nivel esencial se encierra en cuanto en una trayectoria en sentido contrario a las agujas del reloj.

Como Z=N+P, por tanto Z=0;

es decir, la variedad de raíces de la ecuación de la traza en el RHS del plano s es cero, debido a este hecho, el sistema es seguro.

(Si el valor de Z es distinto de cero, es probable que el sistema sea inestable. Z no puede ser desfavorable).

Instancia 2:

Ahora toma un ejemplo más

Llamémoslo sistema-2.

El gráfico de Nyquist del sistema-2 es el que se demuestra en la Determina-4.

Por lo tanto, a partir del gráfico de Nyquist, se puede considerar que N=0. (No hay un nivel esencial encerrado por el gráfico de Nyquist)

En este caso adicionalmente P=1 (un polo de OLTF está en el RHS; es decir, un polo está en +3)

Entonces, Z=N+P=1; debido a este hecho, un polo de un interruptor de bucle cerrado actúa en el plano s RHS, por lo que el sistema es inestable.

(Encontrarás las raíces de la ecuación de la traza. Probablemente será -11,7862, -5,4096, 2,1958; puedes darte cuenta de que, debido a 2,1958, el sistema es inestable).

Instancia 3:

Ahora toma un ejemplo más Aquí también P=1.

El gráfico de nyquist es el siguiente (Determina-5):

Puedes ver N=1 (el asedio del nivel esencial es en el sentido de las agujas del reloj).

Z=N+P=2, debido a este hecho dos raíces de la ecuación de la traza están en el lado derecho del plano complicado (plano s)

(Las raíces de la ecuación de la traza son -16,2724, 0,6362 ±j 6,8044; es decir, Z=2; los dos polos 0,6362 ±j 6,8044 están en el lado derecho del plano s).

Así que puedes ver que la situación Z=N+P es legítima para todas las técnicas.

Instancia 4:

Ahora piensa en

Si dibujas su diagrama de Nyquist, se moverá por un nivel esencial (-1+j0). En este caso, el sistema es marginalmente seguro. Puedes observar que "N" es indefinido en este caso (dentro del caso actual, dos raíces de la ecuación de la traza estarán probablemente en el origen y una raíz en el Aspecto Izquierdo del plano s. Debido a este hecho, el sistema será probablemente marginalmente seguro).

Resumen de los programas 1-4:

En todos los ejemplos anteriores puedes ver que el denominador es similar, sin embargo el numerador es totalmente diferente, o digamos que el numerador es variable. Por tanto, conserva "Ok" dentro del numerador como alternativa de un conjunto de valores; así contempla el siguiente interruptor de bucle abierto a ejecutar:

Si aplicas Criterio Routh Hurwitz para la ecuación de la traza 1+G(s)H(s), entonces encontrarás la variación de "Ok" como 240

Así que ahora puedes ver por qué las técnicas de los ejemplos 1-4 son seguros, inestables o marginalmente seguros.

Podrías dibujar el locus base del interruptor de arriba, probablemente será como se demuestra en la Determina-6

(Puedes ver que las ramas del gráfico del locus raíz están entre 3, -8, -10, el lugar de Okay=0. Así puedes ver que para Okay<240, dos polos del interruptor de bucle cerrado funcionan probablemente en el plano s LHS, sin embargo un polo estará probablemente en el plano s RHS, por lo que para Okay<240 el sistema es inestable.

Porque el sistema es seguro para 240

Este es el artículo sobre el criterio de Nyquist, pero se inserta el diagrama del lugar de la raíz para una mayor comprensión. En los ejemplos 1-4, la única distinción en el conmutador de bucle abierto es que el numerador es variable, por lo que hemos escrito "Ok" como alternativa de un conjunto de valores y se dibuja el lugar de la raíz. Puedes saber por el movimiento de "Ok", cuál sería el impacto en los polos de un interruptor de bucle cerrado en funcionamiento.

Ahora tomemos unos cuantos ejemplos más:

Instancia 5:

Piensa en

Su diagrama de Nyquist es el siguiente:

Según el interruptor realiza P=0 (no hay polo OLTF en el lado derecho)

Según el diagrama de Nyquist, N=0 (No hay un nivel esencial encerrado por el diagrama de Nyquist).

Por tanto, Z=N+P=0; implica que ningún polo de un interruptor de bucle cerrado opera en el plano s RHS, por lo que el sistema es seguro.

Instancia 6:

Piensa en

Su diagrama de Nyquist es el siguiente:

Según el interruptor, realiza P=2 (dos polos de OLTF en el lado derecho)

Según el gráfico de Nyquist N=-2

Así que Z=N+P=0; implica que ninguno de los polos del interruptor de bucle cerrado opera en el RHS del plano s, por lo que el sistema es seguro.

• Por favor, di que en este trabajo se utilizan los componentes Z=N+P, el lugar N=variedad de recinto de nivel esencial 1+j0 en una trayectoria en el sentido de las agujas del reloj. En unos pocos libros, es probable que descubras los componentes Z=-N+P, el lugar N=variedad de encerrar el nivel esencial 1+j0 en una trayectoria en sentido contrario a las agujas del reloj. Cada uno de ellos es apropiado.

Codificación en MATLAB:

Escribimos aquí también la codificación en MATLAB, para que los lectores puedan generar el gráfico de Nyquist y confirmar todos los resultados.

La codificación de MATLAB para generar un gráfico de Nyquist es la siguiente:

s=tf('s')

G1=250/ ((s-3)(s+8)(s+10))

nyquist(G1)

el comando % anterior generará el gráfico de Nyquist del ejemplo 1

% G1 es una variable, puedes utilizar sys1, system1, etc. como alternativa a G1

G2=100/ ((s-3)(s+8)(s+10))

nyquist(G2)

el comando % anterior generará el gráfico Nyquist de la instancia -2

Del mismo modo, se pueden generar gráficos de Nyquist de todas las técnicas.

Mediante el comando: s=tf('s'), la letra 's' se trata como la 's' del operador de Laplace. No querrás suministrar este comando cada vez. Una vez que cierres MATLAB y lo vuelvas a abrir, sólo tendrás que ejecutar este comando.

Puestos asociados: