Los números que conocemos y usamos todos los días se basan en 10 símbolos y reglas para crear y mostrar todos los números, positivos y negativos. Este sistema numérico es sistema decimal.
Tenga en cuenta que la base en el sistema decimal es 10; tenemos 10 símbolos, y 0 es el primer número. Después de contar hasta 9, el siguiente número tiene dos dígitos: un 1 seguido de un 0.
Considere un número ordinario como 543. Como estamos acostumbrados a números ordinarios como 543, no es necesario indicar su base. De lo contrario, 543 tendría que escribirsediezlo que demuestra que su base es 10, o que es un número escrito en el sistema decimal.
El significado del número 543 es el siguiente:
$543=5times 100+4times 10+3times 1=5times {{10}^{2}}+4times {{10}^{1}}+3times {{10} ^{0}}$
(Recuerde que cualquier número elevado a la potencia de 0 es igual a 1). También tenga en cuenta que cualquier número multiplicado por 10 obtiene un cero adicional a su derecha, o si se divide por 10 pierde el dígito más a la derecha (que el más a la derecha dígito es el más pequeño). dígito significativo Es posible que tengamos que redondear un número):
$begin{align}& 543hora 10=5430 & 5430div 10=54left( +0.3 right) end{align}$
Todas estas reglas y otras son aplicables a cualquier otro sistema numérico. solo veremos 3 otros sistemas numéricos: Números hexadecimales, octales y binarios. Estos son ampliamente utilizados en el desarrollo o uso de productos digitales industriales y domésticos.
Todo lo que se hace en calculadoras, computadoras y similares se basa prácticamente en el sistema binario, pero para presentaciones, análisis, discusiones y formulaciones de teoremas se utilizan los sistemas hexadecimal y octal. La razón para usar números hexadecimales y octales es la conveniencia de convertir de binario a binario y viceversa. La conversión entre números decimales y binarios es menos conveniente.
sistema numérico hexadecimal
Hexadecimal representa un sistema numérico cuya base es 16 (compuesto por la palabra griega hexadecimal para 6 y decimal que define la asociación con 10). Primero, por lo tanto, se necesitan 16 símbolos para representar todos los números. Además, al escribir números hexadecimales, es necesario indicar de alguna manera que la base es 16, no 10.
Los números de base 16 del sistema hexadecimal son los números del 0 al 15. Para los números del 0 al 9 se utilizan los mismos símbolos que en el sistema decimal. Para los números del 10 al 15 se utilizan las letras de la A a la F, sin ningún nombre. Ahí está la base del sistema hexadecimal.
[begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}0 & 1 & 2 end{matrix} & 3 & 4 end{matrix} & 5 & 6 end{matrix} & 7 & 8 end{matrix} & 9 & A end{matrix} & B & C end{matrix} & D & begin{matrix}E & F end{matrix} end{matrix}]
y sus correspondientes valores decimales
[begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}begin{matrix}0 & 1 & 2 end{matrix} & 3 & 4 end{matrix} & 5 & 6 end{matrix} & 7 & 8 end{matrix} & 9 & 10 end{matrix} & 11 & 12 end{matrix} & 13 & begin{matrix}14 & 15 end{matrix} end{matrix}]
El siguiente número después de la F en el sistema hexadecimal es el 10, de la misma forma que en los números decimales después del 9 tenemos el 10. Para mostrar que un número está escrito en el sistema hexadecimal (donde su base es 16), podemos poner la base como índice del número, como 543dieciséis. Un método más común es colocar una X antes del número (por ejemplo, X543) o agregar una H después del número, como 543H. Asi que,
[X543={{543}_{16}}=543H=5times {{16}^{2}}+4times {{16}^{1}}+3times {{16}^{0}}=left( 5 right)left( 256 right)+left( 4 right)left( 16 right)+left( 3 right)left( 1 right)=1347]
Aquí hay ejemplos de números hexadecimales (sin la X anterior):
$48,312,A9,C3,2AA,ABCD,3FF,6A2B,12DF$
Para tener una mejor idea de los valores de estos números, calculamos sus equivalentes decimales. Tenga en cuenta que si no usamos la X antes, no está claro si números como 48 y 312 son decimales o hexadecimales, y estos son muy diferentes.
Las cantidades decimales de números hexadecimales se calculan de la misma manera que se mostró anteriormente para 543 en cualquier caso donde 10 o 16 sea la base. por 160 = 1, nos abstenemos de repetirlo y usamos 1 como el multiplicador de dígitos más correcto (menos significativo).
[begin{align}& X48=4times {{16}^{1}}+8times 1=72 & X312=3times {{16}^{2}}+1times {{16}^{1}}+2times 1=786 & XA9=10times {{16}^{1}}+9times 1=169 & XABCD=10times {{16}^{3}}+11times {{16}^{2}}+12times {{16}^{1}}+13times 1=43,981 & XC3=12times {{16}^{1}}+3times 1=195 & X2AA=2times {{16}^{2}}+10times {{16}^{1}}+10times 1=682 & X12DF=1times {{16}^{3}}+2times {{16}^{2}}+13times {{16}^{1}}+15times 1=4831 end{align}]
También tenga en cuenta lo siguiente
$begin{align}& X99=9times {{16}^{1}}+9times 1=153 & XFF=15times {{16}^{1}}+15times 1 =255 & X100=1times {{16}^{2}}+0times {{16}^{1}}+0times 1=256 & XFF+1=X100 fin{alinear}$
Tenga en cuenta que el equivalente de 99, 999 y números decimales similares (es decir, aquellos dígitos antes de que aumente el número de cifras) en nuestro sistema hexadecimal es FF, FFF, etc. Asi que,
$begin{alinear}& X1000-1=XFFF & XFFF+1=X10'000 end{alinear}$
(Tenga en cuenta que no es necesario escribir X1 en lugar de 1 ya que no hay ambigüedad).
Ejemplo 1
Encuentra el equivalente decimal de XABCD0.
La solución
De la misma forma que en el sistema numérico decimal, un número como 1230 es 10 x el número 123, podemos usar la analogía para decir que el número XABCD0 es 16 x el número XABCD0. El equivalente decimal de este último ya se ha encontrado en 43981. Así que para el valor decimal de XABCD0 tenemos
$XABCD0=left( 16 right)left( 43,981 right)=703,696$
El proceso inverso de obtener la expresión hexadecimal de números decimales se puede lograr mediante divisiones sucesivas por 16. El resto de la división determina el dígito del número. Considere, por ejemplo, el pequeño número 23. Al dividir este número por 16, podemos escribir
[begin{align}& begin{matrix}23=1times 16+7 & leftarrow & text{the first digit from right is 7} end{matrix} & begin{matrix}{} & swarrow & {} end{matrix} & begin{matrix}1=0times 16+1 & leftarrow & text{the second digit from right is 1} end{matrix} & begin{matrix}{} & uparrow & {} end{matrix} & begin{matrix}{} & Stoptext{ dividing when this quotient has reaced 0} & {} end{matrix} end{align}]
Las flechas de la izquierda indican el procedimiento y las flechas de la derecha indican la respuesta. La respuesta es 17, definida por los números 7 y 1 que muestran las flechas. La flecha oblicua que parte del 1 en la primera línea hacia la segunda línea indica el traslado del cociente a una nueva línea para continuar el proceso de división por 16. La flecha vertical indica que cuando el cociente llega a 0 el proceso debe detenerse. .
Para este pequeño número, solo una sección es suficiente (la última no es realmente necesaria). Pero para números más grandes, el proceso de división debe repetirse una y otra vez hasta que no sea posible realizar más divisiones (o no se obtengan más resultados). Los siguientes ejemplos muestran el mismo procedimiento para números más grandes. No es necesario mostrar las flechas. Aquí ayudan a entender.
Ejemplo 2
Encuentra la representación hexadecimal del número decimal 52778.
La solución
$begin{align}& 52,778=3298times 16+10to A & 3298=206times 16+2to 2 & 206=12times 16+14to E & 12 =0 times 16+12to C end{alineación}$
XCE2A es la respuesta.
Sistema numérico binario
El sistema numérico binario tiene solo dos números base, 0 y 1. La razón para desarrollar dicho sistema numérico es su aplicabilidad a muchos procesos físicos que tienen dos estados, por lo que un número binario es suficiente para describirlos. Estos estados físicos pueden tomar la forma de
• Encendido y apagado
• Verdadero y falso
• Arriba y abajo
• Si y no
• Positivo y negativo
dependiendo de la aplicación. Por ejemplo, en el caso de interruptores y dispositivos de conmutación en un circuito eléctrico, la extracción define el estado del interruptor. Esta podría ser la base para el almacenamiento de datos, que podría consistir en muchos interruptores o dispositivos donde cada uno de ellos aceptará uno de dos estados a la vez.
Entonces, un número en el sistema binario solo puede tener 0 y 1 porque no hay otros símbolos. Nótese que 10 es el número que sigue al 9 (el último elemento numérico) de la misma forma que en el sistema decimal, en el sistema binario 10 es el número que sigue al 1. Las siguientes líneas muestran algunos ejemplos de algunos números decimales cuando se escribe i. el sistema binario Se usa un subíndice b o 2 para indicar que es un número binario.
$begin{align}& 0=0 & 1=1 & 2={{10}_{b}} & 3={{11}_{b}} & 4={ {100}_{b}} & 10={{1010}_{b}} & 11={{1011}_{b}} & 12={{1100}_{b}} & 15={{1111}_{b}} & 16={{10000}_{b}} fin{alinear}$
Antes de aprender a encontrar el equivalente binario de un número, tenga en cuenta que se puede verificar lo mismo en los números binarios dados: el mismo con 10 + 1 = 11:
${{1010}_{b}}+1={{1011}_{b}}$
y después de 1111b (el último número binario de cuatro dígitos) 10000 (el primer número de cinco dígitos), igual que el número decimal 9999, tenemos 10000.
El equivalente decimal de cualquier número binario se puede encontrar usando el mismo procedimiento que usamos anteriormente para el número 543. Usamos los dígitos anteriores para verificar que son exactamente iguales:
$begin{align}& {{10}_{b}}=1veces {{2}^{1}}+0veces {{2}^{0}}=2+0=2 & {{11}_{b}}=1veces {{2}^{1}}+1veces {{2}^{0}}=2+1=3 & {{1111}_ {b}}=1veces {{2}^{3}}+1veces {{2}^{2}}+1veces {{2}^{1}}+1veces {{2 }^{0}}=8+4+2+1=15 & {{10000}_{b}}=1veces {{2}^{4}}+0veces {{2}^ {3}}+0veces {{2}^{2}}+0veces {{2}^{1}}+0veces {{2}^{0}}=16+0+0+ 0+0=16 fin{alinear}$
Ejemplo 3
Encuentra un número decimal para binario 1011010110b.
La solución
Para mayor claridad, es conveniente mostrar el número como 10, 1101, 0110b, es decir, separando los cuatro dígitos del lado derecho. Este número tiene 10 dígitos.
$1veces {{2}^{9}}+0veces {{2}^{8}}+1veces {{2}^{7}}+1veces {{2}^{6} }+0veces {{2}^{5}}+1veces {{2}^{4}}+0veces {{2}^{3}}+1veces {{2}^{ 2}}+1veces {{2}^{1}}+0veces {{2}^{0}}=512 +128+64+16+4+2=726$
Pero tenga en cuenta que no es necesario escribir los multiplicadores porque son 1 o 0. Además, 0 multiplicado por cualquier número da 0; así que no hay necesidad de escribir. La línea matemática anterior se puede reducir a
${{2}^{9}}+{{2}^{7}}+{{2}^{6}}+{{2}^{4}}+{{2}^{2}} +{{2}^{1}}=512+128+64+16+4+2=$726
Para encontrar el equivalente binario de un número decimal, use el siguiente procedimiento:
1. Divide el número entre 2 y escribe el cociente y el resto.
2. Si el resto es 0, el dígito correcto es cero; de lo contrario es 1.
3. Reemplaza el numerador con el número y repite la división por 2.
4. Si el resto es 0, el segundo dígito es 0; de lo contrario es 1.
5. Continuar el mismo procedimiento hasta que el cociente llegue a 0.
Sistema de numeración octal
Otro sistema de numeración que es más utilizado en la industria es el sistema de ocho, basado en el número 8. Las reglas para convertir ochos a decimales y viceversa son las mismas que para otros sistemas numéricos. Los números del 0 al 7 se utilizan para los ocho símbolos principales. Entonces, los números positivos comienzan desde 0 y son
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 …
Nuevamente, cada número octal debe ir seguido de un subíndice 8 para indicar su base. Los siguientes ejemplos muestran el cálculo del equivalente decimal de un número octal y el equivalente octal de un número decimal.
Ejemplo 4
Encuentre el valor decimal de 20128.
La solución
${{2012}_{8}}=2veces {{8}^{3}}+0veces {{8}^{2}}+1veces {{8}^{1}}+ 2veces 1=512+8+2=1034$
Ejemplo 5
Encuentra la representación octal del número 7777.
La solución
[begin{align}& begin{matrix}7777=972times 8+1 & to & 1 & text{first digital from right} end{matrix} & begin{matrix}972=121times 8+4 & to & 4 & text{second digit} end{matrix} & begin{matrix}121=15times 8+1 & to & 1 & text{third digit} end{matrix} & begin{matrix}15=1times 8+7 & to & 7 & text{fourth digit} end{matrix} & begin{matrix}1=0times 8+1 & to & 1 & text{fifth digit} end{matrix} end{align}]
17141 es el número octal8.
Conversión entre número binario y hexadecimal
Debido a que los números hexadecimales se basan en 16 y 16 es la cuarta potencia de 2, es fácil convertir entre un número hexadecimal y binario. Considere un número hexadecimal de un solo dígito. Los valores representados por este dígito están entre 0 y 15. Ahora considera los números que pueden ser representados por cuatro dígitos en un número binario. Nuevamente, van de 0 a 15. Todos estos números se comparan a continuación (el prefijo X para números hexadecimales se omite por simplicidad).
$begin{align}& {{0000}_{b}}=0 & {{0001}_{b}}=1 & {{0010}_{b}}=2 & { {0011}_{b}}=3 & {{0100}_{b}}=4 & {{0101}_{b}}=5 & {{0110}_{b}} =6 & {{0111}_{b}}=7 & {{1000}_{b}}=8 & {{1001}_{b}}=9 & {{1010 }_{b}}=A & {{1011}_{b}}=B & {{1100}_{b}}=C & {{1101}_{b}}=D & {{1110}_{b}}=E & {{1111}_{b}}=F fin{alinear}$
La equivalencia anterior se puede aplicar directamente a cualquier otro dígito de un número hexadecimal y al conjunto de cuatro dígitos de un número binario. Aquí hay unos ejemplos.
[begin{align}& text{X123 = 0001,0010,0011b } & text{X47A = 0100,0111,101}{{text{0}}_{text{b }}} & text{XBCD1 = 1011,1100,1101,000}{{text{1}}_{text{b}}}text{ } & text{XA00F5 = 1010,0000,0000,1111,010}{{text{1}}_{text{b}}}text{ } & text{1111,1100,0011,0000,1110 = XFC30E } & text{0000,1001,0000,1111 = X90F} end{align}]
Tenga en cuenta que en hexadecimal el 0 más a la izquierda no se muestra en el último número, pero en binario es muy común tener ceros a la izquierda, como verá en la siguiente sección.
Ejemplo 6
Encuentra el equivalente hexadecimal de 1001, 1010,1100,1111,1000,0001.
La solución
Todos los números se pueden calcular o buscar en la lista anterior. Asi que,
[text{1001,1010,1100,1111,1000,0001 = 9ACF8}{{text{1}}_{text{16}}}]
Conversión directa entre números binarios y octales
Es posible la conversión directa entre números octales y binarios. Un número binario se puede dividir en grupos de tres, cada uno correspondiente a un dígito de su número octal asociado. Solo los primeros 8 de 16 en la lista anterior son números octales, y se debe omitir el 0 inicial para que cada número binario tenga solo tres dígitos. Los siguientes son algunos ejemplos.
[begin{align}& text{000,101,000,100b = 50}{{text{4}}_{text{8}}}text{ } & text{000,101,111,100b = 57}{{text{4}}_{text{8}}}text{ } & text{001,001,111,101b = 117}{{text{5}}_{text{8}}}text{ } & text{010,111,110,000b = 276}{{text{0}}_{text{8}}}text{ } & text{100,111,110,000b = 476}{{text{0}}_{text{8}}}text{ } & text{111,101,011,001b = 753}{{text{1}}_{text{8}}} end{align}]
Como se indicó anteriormente, el número de conversión no necesita incluir los 0 iniciales de un número binario.
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