Respuesta de fase en filtros activos

Introducción

En el primer artículo de esta serie,¹ Examiné la relación de la fase del filtro con la topología de la implementación del filtro. En el segundo artículo,² Examiné el cambio de fase de la función de transferencia del filtro para las respuestas de paso bajo y paso alto. Este artículo se concentrará en la respuesta de paso de banda. Si bien los filtros están diseñados principalmente para su respuesta de amplitud, la respuesta de fase puede ser importante en algunas aplicaciones.

Para fines de revisión, la función de transferencia de un filtro activo es en realidad la cascada de la función de transferencia del filtro y la función de transferencia del amplificador (consulte la Figura 1).

La función de transferencia de paso de banda

Cambiando el numerador del prototipo de paso bajo a

convertirá el filtro en una función de paso de banda. Esto pondrá un cero en la función de transferencia. Un término s en el numerador nos da un cero y un término s en el numerador nos da un polo. Un cero dará una respuesta ascendente con frecuencia mientras que un polo dará una respuesta descendente con frecuencia.

La función de transferencia de un filtro de paso de banda de segundo orden es entonces:

ω0 aquí es la frecuencia (F₀ = 2 π ω0) en el que la ganancia del filtro alcanza su punto máximo.

H₀ es la ganancia del circuito (Q pico) y se define como:

donde H es la ganancia de la implementación del filtro.

Q tiene un significado particular para la respuesta de paso de banda. Es la selectividad del filtro. Se define como:

donde FL y FH son las frecuencias donde la respuesta es –3 dB del máximo.

El ancho de banda (BW) del filtro se describe como:

Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia (F₀) es la media geométrica de F_L y F_Hlo que significa que F₀ aparecerá a mitad de camino entre F_L y F_H en una escala logarítmica.

Además, tenga en cuenta que las faldas de la respuesta de paso de banda siempre serán simétricas alrededor de F₀ en una escala logarítmica.

La respuesta de amplitud de un filtro de paso de banda a varios valores de Q se muestra en la Figura 2. En esta figura, la ganancia en la frecuencia central se normaliza a 1 (0 dB).

Una vez más, este artículo se ocupa principalmente de la respuesta de fase, pero es útil tener una idea de la respuesta de amplitud del filtro.

Una palabra de precaución es apropiada aquí. Los filtros de paso de banda se pueden definir de dos maneras diferentes. El caso de banda estrecha es la definición clásica que hemos mostrado anteriormente. Sin embargo, en algunos casos, si las frecuencias de corte altas y bajas están muy separadas, el filtro de paso de banda se construye a partir de secciones separadas de paso alto y paso bajo. Ampliamente separados, en este contexto, significa separados por al menos dos octavas (x4 en frecuencia). Este es el caso de la banda ancha. En este artículo nos interesa principalmente el caso de la banda estrecha. Para el caso de banda ancha, evalúe el filtro como secciones separadas de paso alto y paso bajo.

Si bien un filtro de paso de banda se puede definir en términos de respuestas estándar, como Butterworth, Bessel o Chebyshev, también se definen comúnmente por su Q y F₀.

La respuesta de fase de un filtro de paso de banda es:

Tenga en cuenta que no existe un filtro de paso de banda de un solo polo.

La Figura 3 evalúa la Ecuación 6 desde dos décadas por debajo de la frecuencia central hasta dos décadas por encima de la frecuencia central. La frecuencia central tiene un cambio de fase de 0°. La frecuencia central es 1 y la Q es 0.707. Esta es la misma Q utilizada en el artículo anterior, aunque en ese artículo usamos α. Recuerda α = 1/Q.

La inspección muestra que la forma de esta curva es básicamente la misma que la del paso bajo (y el paso alto). En este caso, sin embargo, el cambio de fase es de 90°, por debajo de la frecuencia central, yendo a 0° en la frecuencia central a –90° por encima de la frecuencia central.

En la Figura 4 examinamos la respuesta de fase del filtro de paso de banda con Q variable. Si observamos la función de transferencia, podemos ver que el cambio de fase puede tener lugar en un rango de frecuencia relativamente grande, y que el rango de el cambio es inversamente proporcional a la Q del circuito. Nuevamente, la inspección muestra que las curvas tienen la misma forma que las de las respuestas de paso bajo (y paso alto), solo que con un rango diferente.

La función de transferencia del amplificador

Se ha demostrado en entregas anteriores que la función de transferencia es básicamente la de un filtro unipolar. Si bien el cambio de fase del amplificador generalmente se ignora, puede afectar la transferencia general del filtro compuesto. El AD822 se eligió arbitrariamente para usarlo en las simulaciones de los filtros de este artículo. Se eligió parcialmente para minimizar el efecto sobre la función de transferencia del filtro. Esto se debe a que el cambio de fase del amplificador es considerablemente más alto en frecuencia que la frecuencia de esquina del filtro mismo. La función de transferencia del AD822 se muestra en la Figura 5, que es información tomada directamente de la hoja de datos.

Ejemplo 1: un filtro de paso de banda de 2 polos y 1 kHz con un Q = 20

El primer ejemplo será un filtro diseñado como paso banda desde el principio. Elegimos arbitrariamente una frecuencia central de 1 kHz y una Q de 20. Dado que la Q está en el lado superior, utilizaremos la configuración de paso de banda de doble amplificador (DABP). Una vez más, esta es una elección arbitraria.

Usamos las ecuaciones de diseño de la Referencia 1. El circuito resultante se muestra en la Figura 6:

En este artículo nos preocupamos principalmente por la fase, pero creo que es útil examinar la respuesta de amplitud.

Vemos la respuesta de fase en la Figura 8:

Tenga en cuenta que la configuración de DABP no es inversora. La figura 8 coincide con la figura 3.

Ejemplo 2: Transformación de filtro de paso bajo a paso de banda Chebyshev de 1 kHz, 3 polos y 0,5 dB

La teoría del filtro se basa en un prototipo de paso bajo que luego se puede manipular en otras formas. En este ejemplo, el prototipo que se utilizará es un filtro Chebyshev de 1 kHz, 3 polos y 0,5 dB. Se eligió un filtro de Chebyshev porque mostraría más claramente si las respuestas no eran correctas. Las ondas en la banda de paso, por ejemplo, no se alinearían. Un filtro Butterworth probablemente sería demasiado indulgente en este caso. Se eligió un filtro de 3 polos para que se transformaran un par de polos y un solo polo.

Las ubicaciones de los polos para el prototipo LP (de la Referencia 1) son:

La primera etapa es el par de polos y la segunda etapa es el polo único. Tenga en cuenta la desafortunada convención de usar α para dos parámetros completamente separados. Los α y β de la izquierda son las ubicaciones de los polos en el plano s. Estos son los valores que se utilizan en los algoritmos de transformación. El α de la derecha es 1/Q, que es lo que quieren ver las ecuaciones de diseño de los filtros físicos.

El prototipo de paso bajo ahora se convierte en un filtro de paso de banda. La cadena de ecuaciones descrita en la Referencia 1 se utiliza para la transformación. Cada polo del filtro prototipo se transformará en un par de polos. Por lo tanto, el prototipo de 3 polos, cuando se transforme, tendrá seis polos (pares de 3 polos). Además, habrá seis ceros en el origen. No existe tal cosa como un paso de banda de un solo polo.

Parte del proceso de transformación es especificar el ancho de banda de 3 dB del filtro resultante. En este caso, este ancho de banda se establecerá en 500 Hz. Los resultados de la transformación dan:

En la práctica, podría ser útil colocar la sección Q inferior de ganancia más baja primero en la cuerda, para maximizar el manejo del nivel de la señal. La razón del requisito de ganancia para las dos primeras etapas es que sus frecuencias centrales se atenuarán en relación con la frecuencia central del filtro total (es decir, estarán en la falda de otras secciones).

Dado que las Q resultantes son moderadas (menos de 20), se elegirá la topología de retroalimentación múltiple. Las ecuaciones de diseño para el filtro de paso de banda de retroalimentación múltiple de la Referencia 1 se utilizan para diseñar el filtro. La figura 9 muestra el esquema del filtro en sí.

En la Figura 10 observamos el cambio de fase del filtro completo. El gráfico muestra el cambio de fase de la primera sección sola (Sección 1), de las dos primeras secciones juntas (Sección 2) y del filtro completo (Sección 3). Estos muestran el cambio de fase de las secciones de filtro "reales", incluido el cambio de fase del amplificador y la inversión de la topología del filtro.

Hay un par de detalles a tener en cuenta en la Figura 10. Primero, la respuesta de fase es acumulativa. La primera sección muestra un cambio de fase de 180° (el cambio de fase de la función de filtro, sin tener en cuenta el cambio de fase de la topología del filtro). La segunda sección muestra un cambio de fase de 360° debido a que tiene dos secciones, 180° de cada una de las dos secciones. Recuerda que 360° = 0°. Y la tercera sección muestra 540° de cambio de fase, 180° de cada una de las secciones. También tenga en cuenta que en las frecuencias por encima de 10 kHz estamos empezando a ver la caída de fase ligeramente debido a la respuesta del amplificador. Podemos ver que el roll-off es nuevamente acumulativo, aumentando para cada sección.

En la Figura 11 vemos la respuesta de amplitud del filtro completo.

Conclusión

Este artículo considera el cambio de fase de los filtros de paso de banda. En artículos anteriores de esta serie, examinamos el cambio de fase en relación con la topología de filtro y para las topologías de paso alto y paso bajo. En futuros artículos, veremos los filtros de muesca y de paso total. En la entrega final, uniremos todo y examinaremos cómo el cambio de fase afecta la respuesta transitoria del filtro, observando el retardo de grupo, la respuesta de impulso y la respuesta de paso, y lo que eso significa para la señal.

Notas finales:

¹Hank Zumbahlen. "Relaciones de fase en filtros activos". Diálogo analógicoVolumen 41, Número 4, 2007.

2Hank Zumbahlen. "Respuesta de fase en filtros activos Parte 2, las respuestas de paso bajo y paso alto". Diálogo analógicoVolumen 43, Número 3, 2009.