Relaciones de fase en filtros activos

En las aplicaciones que utilizan filtros, la respuesta de amplitud suele ser más interesante que la respuesta de fase. Pero en algunas aplicaciones, la respuesta de fase del filtro es importante. Por ejemplo, cuando un filtro es un elemento de un bucle de control del proceso. En este caso, el desplazamiento de fase total es preocupante, ya que puede afectar a la estabilidad del bucle. El hecho de que la topología utilizada para construir el filtro produzca una inversión de signo a determinadas frecuencias puede ser importante.

Puede ser útil visualizar el filtro activo como dos filtros en cascada. Uno es el filtro ideal, que encarna la ecuación de transferencia; el otro es el amplificador utilizado para construir el filtro. Esto se ilustra en la Figura 1. Un amplificador utilizado en un bucle cerrado con retroalimentación negativa puede considerarse como un simple filtro de paso bajo con una respuesta de primer orden. La ganancia disminuye con la frecuencia a partir de un determinado punto de corte. Además, de hecho, habrá un desplazamiento de fase adicional de 180° en todas las frecuencias si el amplificador se utiliza en la configuración inversa.

En primer lugar, se elige la respuesta del filtro; después se selecciona una topología de circuito para implementarla. La respuesta del filtro se refiere a la forma de la curva de atenuación. A menudo se trata de una de las respuestas clásicas, como Butterworth, Bessel o una forma de Chebyshev. Aunque estas curvas de respuesta suelen elegirse para afectar a la respuesta de amplitud, también afectarán a la forma de la respuesta de fase. A efectos de comparación en esta discusión, se ignorará la respuesta de amplitud y se considerará esencialmente constante.

La complejidad del filtro se define generalmente por el "orden" del filtro, que está relacionado con el número de elementos de almacenamiento de energía (inductores y condensadores). El orden del denominador de la función de transferencia del filtro define la tasa de atenuación al aumentar la frecuencia. La tasa de atenuación asintótica del filtro es de -6n dB/octava o -20n dB/década, donde n es el número de polos. A octava es una duplicación o reducción a la mitad de la frecuencia; un década es un aumento o disminución de la frecuencia de diez veces. Así, un filtro de primer orden (o unipolar) tiene una tasa de atenuación de -6 dB/octava o -20 dB/década. Asimismo, un filtro de segundo orden (o bipolar) tiene una tasa de atenuación de -12 dB/octava o -40 dB/década. Los filtros de orden superior suelen estar formados por bloques de primer y segundo orden en cascada. Por supuesto, es posible construir secciones de tercer e incluso cuarto orden con una sola etapa activa, pero la sensibilidad a los valores de los componentes y los efectos de las interacciones de éstos en la respuesta en frecuencia aumentan considerablemente, lo que hace que estas opciones sean menos atractivas.

La ecuación de transferencia

En primer lugar, examinaremos la respuesta de fase de las ecuaciones de transferencia. El desplazamiento de fase de la función de transferencia será el mismo para todas las opciones de filtro del mismo orden. En el caso de un filtro pasa bajos unipolar, la función de transferencia tiene un desplazamiento de fase, Φ, dado por

(1)

donde
ω = frecuencia (radianes por segundo)
ω₀ = frecuencia central (radianes por segundo)

La frecuencia en radianes por segundo es igual a 2π veces la frecuencia en Hz (f), ya que hay 2π radianes en un ciclo de 360°. Como la expresión es una relación adimensional, dejemos que f o ω.

La frecuencia central también puede denominarse corte (la frecuencia a la que la respuesta de amplitud del filtro pasa-bajos unipolar se reduce en 3 dB, es decir, aproximadamente un 30%). En cuanto a la fase, la frecuencia central estará en el punto en el que el desplazamiento de fase sea el 50% de su valor final de -90° (en este caso). La figura 2, un gráfico semilogarítmico, evalúa la ecuación 1 desde dos décadas por debajo hasta dos décadas por encima de la frecuencia central. La frecuencia central (=1) tiene un desplazamiento de fase de -45°.

Del mismo modo, la respuesta de fase de un filtro pasaaltos unipolar viene dada por :

(2)

La figura 3 evalúa la ecuación 2 desde dos décadas por debajo hasta dos décadas por encima de la frecuencia central. La frecuencia central normalizada (=1) tiene un desplazamiento de fase de +45°.

Está claro que las respuestas de fase del paso alto y del paso bajo son similares, sólo que desplazadas 90° (π/2 radianes).

En el caso del filtro paso bajo de segundo orden, la función de transferencia tiene un desplazamiento de fase que puede aproximarse mediante

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donde α es la relación de amortiguación del filtro. Determinará el pico de la respuesta de amplitud y la nitidez de la transición de fase. Es la inversa del índice Q del circuito, que también determina la inclinación de la atenuación de la amplitud o del desfase. El Butterworth tiene un α de 1,414 (Q de 0,707), lo que produce una respuesta máxima plana. Los valores más bajos de α provocarán picos en la respuesta de amplitud.

La figura 4 evalúa esta ecuación (utilizando α = 1,414) desde dos décadas por debajo hasta dos décadas por encima de la frecuencia central. Aquí, la frecuencia central (=1) tiene un desplazamiento de fase de -90°.La respuesta de fase de un filtro pasa-altas de 2 polos puede aproximarse mediante

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En la figura 5, esta ecuación se evalúa (de nuevo utilizando α = 1,414) desde dos décadas por debajo hasta dos décadas por encima de la frecuencia central (=1), mostrando un desplazamiento de fase de -90°.

Una vez más, queda claro que las respuestas de fase del filtro pasa alto y del filtro pasa bajo son similares, sólo que desplazadas en 180° (π radianes).

En los filtros de orden superior, la respuesta de fase de cada sección adicional es acumulativa y se suma al total. Más adelante hablaremos de ello con más detalle. De acuerdo con la práctica habitual, el desplazamiento de fase mostrado está limitado al rango de ±180°. Por ejemplo, -181° es realmente lo mismo que +179°, 360° es lo mismo que 0°, y así sucesivamente.

Secciones de filtro de primer orden

Las secciones de primer orden pueden construirse de varias maneras. La forma más sencilla es la que se muestra en la Figura 6, utilizando simplemente una configuración R-C pasiva. La frecuencia central de este filtro es 1/(2πRC). Suele ir seguido de un amplificador tampón no inversor para evitar que el circuito que sigue al filtro lo cargue, lo que podría alterar la respuesta del filtro. Además, el búfer puede proporcionar cierta capacidad de accionamiento. La fase variará con la frecuencia como se muestra en la figura 2, con un desplazamiento de fase de 45° en la frecuencia central, exactamente como predice la ecuación de transferencia, ya que no hay componentes adicionales que alteren el desplazamiento de fase. Esta respuesta se llamará respuesta de fase, primer orden, paso bajo. El buffer no añadirá ningún desplazamiento de fase, siempre que su ancho de banda sea mucho mayor que el del filtro.

Recuerda que la frecuencia en estos gráficos es normalizadoes decir, la relación con la frecuencia central. Si, por ejemplo, la frecuencia central fuera de 5 kHz, el gráfico mostraría la respuesta de fase en las frecuencias de 50 Hz a 500 kHz.

En la figura 7 se muestra otra estructura. Este circuito, que añade una resistencia en paralelo para descargar continuamente un condensador integrador, es en realidad un integrador con pérdidas. La frecuencia central es también 1/(2πRC). Como el amplificador se utiliza en modo inversor, la inversión introduce un desplazamiento de fase adicional de 180°. La variación de la fase de entrada-salida en función de la frecuencia, incluyendo la inversión de fase del amplificador, se muestra en la figura 2 (eje derecho). Esta respuesta se denominará respuesta pasa-bajos invertida de primer orden.

Los circuitos mostrados anteriormente, que atenúan las frecuencias altas y pasan las bajas, son filtros de paso bajo. También hay circuitos similares para pasar las altas frecuencias. La configuración pasiva de un filtro paso alto de primer orden se muestra en la figura 8; y su variación de fase con la frecuencia normalizada se muestra en la figura 3 (respuesta de fase).

El gráfico de la figura 3 (eje izquierdo) se denominará respuesta de fase de primer orden y paso alto. La configuración activa del filtro paso alto se muestra en la figura 9. La variación de la fase con la frecuencia se muestra en la figura 3 (eje derecho). Lo llamaremos el respuesta pasa alto invertida de primer orden.

Secciones de segundo orden

Existen diversas topologías de circuitos para construir secciones de segundo orden. Aquí hablaremos de la Sallen-Keyen retroalimentación múltipleel variable de estadoy su primo cercano, el biquad. Estos son los más comunes y son relevantes aquí. En las Referencias encontrarás información más completa sobre las diferentes topologías.

Sallen-Key, filtro de paso bajo

La configuración Sallen-Key, ampliamente utilizada, también conocida como fuente de tensión controlada (VCVS), fue presentado por primera vez en 1955 por R. P. Sallen y E. L. Key, de los Laboratorios Lincoln del MIT (véase la referencia 3). La figura 10 es un esquema de un filtro paso bajo de segundo orden Sallen-Key. Una de las razones de la popularidad de esta configuración es que su rendimiento es esencialmente independiente del del op-amp, ya que el op-amp se utiliza principalmente como amortiguador. Como el op-amp conectado al seguidor no se utiliza para la ganancia de tensión en el circuito básico Sallen-Key, sus requisitos de ancho de banda de ganancia no son muy grandes. Esto implica que, para un determinado ancho de banda del amplificador óptico, se puede diseñar un filtro de mayor frecuencia utilizando esta ganancia fija (unidad), en comparación con otras topologías que implican la dinámica del amplificador en un bucle de realimentación variable. La fase de la señal se mantiene a través del filtro (configuración no inversora). Diagrama de desplazamiento de fase en función de la frecuencia para un filtro paso bajo de Sallen-Key, con Q = 0,707 (o una relación de amortiguación, α = 1/Q de la respuesta de 1,414-Butterworth) se muestra en la figura 4 (eje izquierdo). Para simplificar las comparaciones, éste será el rendimiento estándar para las secciones de segundo orden consideradas aquí.

El filtro paso alto de Sallen-Key

Para transformar el filtro de paso bajo Sallen-Key en una configuración de paso alto, se intercambian los condensadores y las resistencias de la red de determinación de la frecuencia, como se muestra en la figura 11, utilizando de nuevo un buffer de ganancia unitaria. El desplazamiento de fase en función de la frecuencia se muestra en la figura 5 (eje izquierdo). Esta es la respuesta de segundo orden y fase de paso alto.

La ganancia del amplificador en los filtros Sallen-Key puede aumentarse conectando un atenuador resistivo en la ruta de retroalimentación a la entrada inversora del amplificador óptico. Sin embargo, el cambio de ganancia afectará a las ecuaciones de la red de determinación de la frecuencia, y habrá que recalcular los valores de los componentes. Además, es más probable que haya que examinar la dinámica del amplificador, ya que introduce la ganancia en el bucle.

El filtro pasa bajo de retroalimentación múltiple (MFB)

El filtro de realimentación múltiple es una configuración de un solo amplificador basada en un amplificador operacional como integrador (una configuración inversa) dentro de un bucle de realimentación (véase la figura 12). Por tanto, la dependencia de la función de transferencia de los parámetros del amplificador operacional es más importante que en la realización de Sallen-Key. Es difícil generarQlas secciones de alta frecuencia no pueden utilizarse debido a la limitada ganancia en bucle abierto del amplificador operacional de alta frecuencia. Como regla general, la ganancia en bucle abierto del amplificador operacional debe ser al menos 20 dB (es decir, ×10) mayor que la respuesta de amplitud en la frecuencia de resonancia (o de corte), incluyendo el pico causado por el amplificador operacional Q del filtro. El pico debido a Q tendrá una magnitud de A₀:

(5)

donde H es la ganancia del circuito.

El filtro de retroalimentación múltiple invierte la fase de la señal. Esto equivale a añadir 180° al desplazamiento de fase del propio filtro. La variación de la fase con la frecuencia se muestra en la figura 4 (eje derecho). Esto se denominará el respuesta pasa-bajos invertida de segundo orden. Es interesante observar que la diferencia entre los componentes de mayor y menor valor para obtener una respuesta determinada es mayor en el caso de retroalimentación múltiple que en la realización de Sallen-Key.

El filtro paso alto multiretroalimentado (MFB)

Los comentarios realizados en el caso del filtro pasa-bajos multiretroalimentado también se aplican al caso del filtro pasa-alto. El esquema de un filtro paso alto multiretroalimentado se muestra en la Figura 13, y su desplazamiento de fase ideal en función de la frecuencia se muestra en la Figura 5 (eje derecho). Esto se ha llamado la respuesta pasa alto invertida de segundo orden.

Este tipo de filtro puede ser más difícil de implementar de forma estable a frecuencias más altas porque se basa en un diferenciador que, como todos los circuitos de diferenciadores, mantiene una ganancia de bucle cerrado más alta a frecuencias más altas y tiende a amplificar el ruido.

Variable de estado

En la Figura 14 se muestra una implementación de estado variable. Esta configuración ofrece la implementación más flexible y precisa a expensas de muchos más elementos de circuito, incluyendo tres amplificadores operacionales. Los tres parámetros principales (ganancia, Q y ω₀) pueden ajustarse de forma independiente; y las salidas de paso bajo, paso alto y paso banda están disponibles simultáneamente. La ganancia del filtro también se puede ajustar de forma independiente.

Como todos los parámetros del filtro de estado variable pueden ajustarse de forma independiente, se puede minimizar la dispersión de los componentes. Además, se minimizan los desajustes debidos a la temperatura y a las tolerancias de los componentes. Los amplificadores operacionales utilizados en las secciones integradoras tendrán las mismas limitaciones en el ancho de banda de ganancia de los amplificadores operacionales que se describen en la sección de retroalimentación múltiple.

El desplazamiento de fase en función de la frecuencia de la sección de paso bajo será una respuesta de segundo orden invertida (véase la figura 4, eje derecho) y la sección de paso alto tendrá la respuesta de paso alto invertida (véase la figura 5, eje derecho).

Biquadratic (Biquad)

Un primo cercano del filtro de variación de estado es el biquad (véase la figura 15). El nombre de este circuito, utilizado por primera vez por J. Tow en 1968 (véase la referencia 6) y luego por L. C. Thomas en 1971 (véase la referencia 5), se basa en el hecho de que la función de transferencia es una relación de dos términos cuadráticos. Este circuito es una forma ligeramente diferente de un circuito de cambio de estado. En esta configuración, no se dispone de una salida de paso alto independiente. Sin embargo, hay dos salidas de paso bajo, una en fase (LOWPASS1) y otra fuera de fase (LOWPASS2).

Añadiendo una cuarta sección de amplificación, se pueden implementar filtros de paso alto, de muesca (paso bajo, estándar y paso alto) y de paso total. El esquema de una bicadena con una sección de paso alto se muestra en la Figura 16.

El desplazamiento de fase frente a la frecuencia de la sección LOWPASS1 será la respuesta de paso bajo de segundo orden en fase (véase la figura 4, eje izquierdo). La sección LOWPASS2 tendrá la respuesta de segundo orden invertida (ver Figura 4, eje derecho). La sección HIGHPASS tiene un desplazamiento de fase invertido (ver Figura 5, eje derecho).

CONCLUSIÓN

Hemos visto que la topología utilizada para construir un filtro tendrá un efecto sobre su respuesta de fase real. Este puede ser uno de los factores utilizados para determinar la topología utilizada. En la Tabla 1 se comparan los rangos de desplazamiento de fase de las distintas topologías de filtros paso bajo que se han tratado en este artículo.

Tabla 1. Rangos de desplazamiento de fase de las topologías de los filtros de paso bajo.

Del mismo modo, en la Tabla 2 se comparan las diferentes topologías de paso alto.

Tabla 2. Rangos de desplazamiento de fase de las topologías de los filtros paso alto.

La variación del desplazamiento de fase con Q

Todas las respuestas de segundo orden anteriores utilizaron una Q de 0,707. La figura 17 muestra el efecto en la respuesta de fase de un filtro paso bajo (los resultados para el paso alto son similares) al variar Q. Las respuestas de fase para los valores de Q = 0,1, 0,5, 0,707, 1, 2, 5, 10 y 20. Es interesante observar que la fase puede empezar a cambiar muy por debajo de la frecuencia de corte para valores bajos de Q.

Aunque no es el objeto de este trabajo, la variación de la respuesta de amplitud con Q también puede ser de interés. La figura 18 muestra la respuesta en amplitud de una sección de segundo orden como Q varía en el rango anterior.

El pico que se produce a altasQ las secciones pueden ser interesantes cuando la parte superiorQ las secciones se utilizan en los filtros de varias etapas. Aunque, en teoría, el orden de las secciones en cascada no supone ninguna diferencia, en la práctica suele ser preferible colocar las secciones en el nivel bajoQ tramos por delante de los máximosQ para que el pico no haga que el filtro supere su rango dinámico. Aunque este gráfico es para las secciones de paso bajo, las respuestas de paso alto mostrarán picos similares.

Filtros de orden superior

Las funciones de transferencia se pueden conectar en cascada para formar respuestas de orden superior. Cuando las respuestas de los filtros están en cascada, las ganancias (y atenuaciones) en dB se suman, y los ángulos de fase se suman, en cualquier frecuencia. Como ya hemos dicho, los filtros multipolares suelen construirse con secciones de segundo orden en cascada, más una sección adicional de primer orden para los filtros de orden impar. Dos secciones de primer orden en cascada no proporcionan la amplia gama de Q disponible con una sola sección de segundo orden.

En la figura 19 se muestra una cascada de funciones de transferencia de un filtro de cuarto orden. Aquí vemos que el filtro se construye a partir de dos secciones de segundo orden.

La figura 20 muestra el efecto en la respuesta de fase de construir un filtro de cuarto orden de tres formas diferentes. La primera se construye con dos secciones Butterworth Sallen-Key (SK). El segundo consiste en dos secciones de retroalimentación múltiple de Butterworth (MFB). La tercera se construye con una sección SK y una sección MFB. Pero al igual que dos secciones de primer orden en cascada no hacen una sección de segundo orden, dos secciones Butterworth de segundo orden en cascada no hacen una sección Butterworth de cuarto orden. La primera sección de un filtro Butterworth tiene un valor de f₀ de 1 y un Q de 0,5412 (α = 1,8477). La segunda sección tiene un f₀ de 1 y un Q de 1,3065 (α = 0,7654).

Como ya hemos dicho, la sección SK es no inversora, mientras que la sección MFB es inversora. La figura 20 compara los desplazamientos de fase de estas tres secciones de cuarto orden. Los filtros SK y MFB tienen la misma respuesta porque dos secciones invertidas dan una respuesta en fase (-1 × -1 = +1). El filtro construido con topologías mixtas (SK y MFB) da una respuesta desplazada 180° (+1 × -1 = -1).

Observa que el desplazamiento de fase total es el doble que el de una sección de segundo orden (360° frente a 180°), como era de esperar. Los filtros de paso alto tendrían respuestas de fase similares, desplazadas 180°.

Esta idea en cascada puede hacerse para filtros de orden superior, pero todo lo que supere el octavo orden es difícil de montar en la práctica.

En futuros artículos se examinarán las relaciones de fase en los filtros de banda, los filtros de muesca (notch) y los filtros de paso total.

Referencias

1. Daryanani, G Principios de síntesis y diseño de redes activas. J. Wiley & Sons. 1976. ISBN: 0-471-19545-6.
2. Graeme, J., G. Tobey y L. Huelsman Diseño y aplicaciones de los amplificadores operacionales. McGraw-Hill. 1971. ISBN 07-064917-0.
3. Sallen, R. P., y E. L. Key. "Un método práctico para diseñar filtros RC activos" IRE Trans. Teoría de los circuitos. 1955. Vol. CT-2, pp. 74-85.
4. Thomas, L. C. "El Biquad: Parte II-Un sistema versátil de filtrado activo" IEEE Trans. Circuitos y sistemas. 1971. Vol. CAS-18. pp. 358-361.
5. Thomas, L. C. "El Biquad: Parte I - Algunas consideraciones prácticas de diseño"IEEE Trans. Circuitos y sistemas. 1971. Vol. CAS-18. pp. 350-357.
6. Tow, J. "Filtros RC activos: una realización del espacio de estados" Proc. IEEE. 1968. Vol. 56. pp. 1137-1139.
7. Van Valkenburg, M. E Diseño de filtros analógicos. Holt, Rinehart & Winston. 1982.
8. Williams, A. B Manual de diseño de filtros electrónicos. McGraw-Hill. 1981.
9. Zumbahlen, H. "Filtros analógicos" Capítulo 5, en Jung, W., Manual de amplificadores operacionales. Newnes-Elsevier (2006).
10. Zumbahlen, H Diseño lineal básico. Cap. 8, Analog Devices Inc. 2006.