Otra opción en la tabla de verdad a la funcion logica una de esas aplicaciones es Karnaugh Map (K-Map), que lleva el nombre de su creador, Karnaugh. El mapa de Karnaugh, abreviado como K-map, proporciona una solución más fácil para encontrar la función lógica para aplicaciones de dos, tres y cuatro entradas. Se puede aplicar en casos donde hay más entradas pero son difíciles de tratar.
Mapa de Karnaugh para dos entradas
Las aplicaciones con solo dos entradas A y B son fáciles de administrar por cualquier medio. Sin embargo, para comprender mejor cómo funciona el mapa K, comenzamos con dos entradas. Como notó, con dos entradas, hay cuatro estados posibles, como se muestra en la tabla de verdad que se muestra en Figura 1que también muestra el mapa K correspondiente.
Para un problema de dos entradas, el mapa K tiene cuatro celdas. Las celdas horizontales representan los dos estados de una de las entradas (B en Figura 1, a partir de $overline{B}$ a la izquierda), y las celdas verticales muestran el estado de la otra entrada a partir del valor NOT. La correspondencia entre las líneas de la tabla de verdad y las celdas del K-map se indica mediante flechas para dos celdas.
Los valores requeridos para la salida se ingresan en las celdas correspondientes (Figura 1b). Por ejemplo, en la figura mostrada, la salida debe ser 1 en ambos casos: $outline{A}outline{B}$ y AB; es decir, cuando las dos entradas tienen sus valores complementarios y cuando ambas entradas tienen sus valores 1, es decir, cuando las dos entradas tienen valores similares. (Tenga en cuenta que el símbolo de multiplicación no se muestra por simplicidad; por lo tanto, AB significa AB) Las flechas indican las transiciones correspondientes. Las otras celdas deben ser 0 en este caso. Por lo tanto, se llenan con 0.
Cada celda representa una de las cuatro combinaciones de las dos entradas. Por ejemplo, la celda superior izquierda representa $overline{A}forline{B}$. Esta es la expresión lógica de la celda.
Una vez que los valores de las celdas en el K-map se identifican según el requisito de salida y los 1 y 0 asignados, la expresión lógica se puede derivar de las celdas que contienen los unos. La suma de las expresiones de estas celdas que tienen 1 dentro define la función lógica de la aplicación. En este ejemplo de dos entradas, la expresión para la salida es Z
$Z=sobrelínea{A}.sobrelínea{B}+AB$
Figura 1 Tabla de verdad y K-map para un problema de dos entradas. (a) La estructura del mapa K. (b) Ejemplo de la implementación de los requisitos.
Representa el complemento de una puerta XOR. Entonces, para esta aplicación, el circuito requerido consta de una puerta XOR y una puerta NOT. Para este problema, no hubo necesidad de usar el K-map porque es un caso trivial de dos entradas. Pero, para tres y cuatro entradas, el problema es más complicado.
A propiedad importante de un K-map donde pasar de una celda a una celda vecina implica solo un cambio (y nunca más de uno). Un cambio significa que solo cambia una de las entradas de su complemento. Puede ver que para un mapa K de dos entradas, moverse horizontalmente solo cambia B, y moverse verticalmente solo cambia A. Esta propiedad ayuda a elegir la entrada correcta para expandir el mapa K de dos entradas a tres y cuatro entradas, como visto a continuación.
También tenga en cuenta que la notación de K-maps tiene dos vecinos verticales y dos vecinos horizontales. En otras palabras, se supone que las celdas deben estar ordenadas en círculos y no en filas y columnas. Este tema es más importante y más claro en las entradas tres y cuatro y será revisado.
Mapa de Karnaugh para tres entradas
El K-map para dos entradas se puede ampliar a tres entradas combinando una tercera entrada en dirección horizontal o vertical con la entrada existente. Aquí lo hacemos horizontalmente, y la tercera variable C se combina con B, como se muestra en Figura 2.
El mapa K tiene ocho celdas para tres variables, cada una de las cuales representa una de las ocho combinaciones posibles de tres entradas. yo Figura 2 las celdas están numeradas del 1 al 8 como referencia.
Figura 2 K-map para una caja de tres entradas.
Tenga en cuenta los siguientes puntos importantes:
1. Cada celda representa la combinación de tres entradas. Por lo tanto, la expresión de cada celda es el producto de las entradas o su complemento, como $overline{A}Bforline{C}$.
2. La variación de las dos entradas se muestra en la dirección horizontal.
3. En la dirección horizontal, un cambio en B o C solo necesita mover cada celda a su vecino derecho o izquierdo, pero no necesariamente a ambos. Es por eso que BC aparece en la tercera columna de la izquierda en lugar de $Boverline{C}$.
Con base en el requisito de salida, como lo indican los asteriscos en la tabla de verdad, se ingresan 1 en las celdas correspondientes del mapa K. Las otras celdas se llenan con 0.
El núcleo del mapa K ahora se puede mostrar según el patrón que se ve después de llenar todas las celdas. Celdas 1 y 5 (en Figura 2) para ser seleccionado como parte de la salida. La celda 1 contiene $overline{A}$ y la celda 5 contiene A. Esto implica que cambiar A a $overline{A}$ (y viceversa) no tiene efecto en la salida, lo que significa que la entrada A es igual a esa salida. independiente de ella. En tal caso, la salida se define por la parte común de estas dos celdas, más cualquier otra celda que contenga un 1. En este caso,
$Z=overline{B}.overline{C}+overline{A}.overline{B}.C$
El proceso de definición y simplificación de la función lógica utilizando un mapa K es el siguiente.
1. Encierre en un círculo todas las apariciones de 1 en las celdas, agrupe todas las de las celdas adyacentes en grupos de dos y cuatro. Las celdas vecinas pueden aparecer en una fila, columna o rectángulo cuando hay varias columnas (o filas) involucradas.
2. Escribe la expresión correspondiente para cada grupo encerrado en un círculo.
3. Agrega las oraciones lógicas para cada grupo.
Para Paso 1, debemos prestar atención al hecho de que pasar de la celda 4 a la celda 1 (o viceversa) y de la celda 8 a la celda 5 implica un solo cambio; es un cambio entre B y su complemento. En este sentido, las celdas 1 y 4 se consideran vecinas, y las celdas 5 y 8 también se consideran vecinas. Por lo tanto, deben redondearse si contienen 1.
Para 2do gradonótese que un cambio de filas significa un cambio entre A y su complemento, un cambio entre la primera y la cuarta columna significa un cambio entre B y su complemento, y un cambio entre las columnas 1 y 2 y entre las columnas 3 y 4 significa un cambio entre C y su complemento (ver imagen 3).
Intentamos hacer grupos de dos o cuatro, siempre que sea posible. En cada caso, la variable o variables que no cambian dentro del grupo describen la función lógica para ese grupo.
La agrupación es el proceso de simplificación de la función lógica de una aplicación. Se muestran ejemplos de formación de grupos y cerco de celdas vecinas i imagen 3. La función lógica correspondiente para los casos mostrados se describe a continuación. La siguiente sección muestra otros ejemplos de problemas de cuatro entradas.
imagen 3 Ejemplos de celdas vecinas rodeadas que contienen 1 en un caso de tres entradas. (a) Un grupo. (b) No es posible agrupar. (contra) Grupo grupo vertical y horizontal. (D) Un grupo de cuatro celdas en dos filas. (mi) Un grupo de cuatro celdas en una fila. (F) Las celdas extremas en una fila forman un grupo. (gramo) En este caso, hay un par más celda, o dos pares con una celda compartida. (h) Dos grupos, uno horizontal y otro vertical. (yo) Tres grupos. (i) Dos grupos. (k) Un grupo de cuatro células.
Las funciones lógicas para los casos a a k mostradas i imagen 3 son los siguientes:
una. $overline{A}overline{B}C$ y $overline{A}BC$ pertenecen a . Es el producción definido por la suma de $overline{A}overline{B}C$ y $overline{A}BC$. Dado que cambiar $overline{B}$ a B no tiene ningún efecto en la salida (se muestra que ambas celdas son 1), se eliminan y la salida se establece como
$Z=overline{A}C$
b. Las celdas circulares individuales no tienen elementos comunes. Entonces la salida es la suma de estas dos celdas.
[Z=overline{A}overline{B}C+Aoverline{B}C]
contra Aunque es posible dividir una celda entre las dos áreas rodeadas por un círculo, es mejor dividir las celdas que contienen 1 en dos grupos con un par de celdas en cada uno.
$Z=overline{B}overline{C}+overline{A}C$
D. Todas las celdas dentro de un círculo son $forline{B}$ y cambiar A y C no tiene ningún efecto. La salida se define solo por $overline{B}$.
$Z=overline{B}$
mi. Como en el caso d, todas las celdas encerradas en un círculo contienen A, y los cambios en B y C no tienen efecto en la salida.
$Z=A$
F. Hay dos pares de círculos en este caso; uno no tiene cambios en $overline{C}$ (está en ambas celdas) y el otro no tiene cambios en C.
[Z=overline{A}overline{C}+AC]
gramo. Cuando están involucradas tres celdas, como se indica en un círculo, podemos considerar dos pares con una celda compartida. Para el primer par, $overline{B}$ no cambia, y para el segundo par, C no cambia.
$Z=overline{A}overline{B}+overline{A}C$
H. Para este caso, nuevamente, consideramos un par horizontal y un par vertical (se comparte una celda entre los dos). Para el par horizontal, B cambia (por lo que B se omite de su función) y A cambia para el par vertical (por lo que A se omite).
$Z=overline{A}C+overline{B}C$
yo. Este caso se puede considerar como una combinación del caso h con un término adicional para las celdas 5 y 8. Por lo tanto,
$Z=contorno{A}C+contorno{B}C+Acontorno{C}$
j Las celdas 1 y 4 dan como resultado $overline{A}overline{C}$, y las celdas 1 y 5 dan como resultado $overline{B}overline{C}$; Asi que,
$Z=contorno{A}contorno{C}+contorno{B}contorno{C}$
k. Cada celda encerrada en un círculo contiene $overline{C}$, y los cambios en A y B son irrelevantes.
$Z=overline{C}$
Mapa de Karnaugh para cuatro entradas
El mapa K tiene 16 celdas para cuatro variables; es decir el doble que tres variables. Al igual que con el estiramiento horizontal del caso de dos entradas, se aplica tanto el estiramiento horizontal como el vertical. El resultado se muestra en Figura 4.
Cada celda en este caso representa el valor correspondiente a uno de los 16 estados posibles para la combinación de cuatro entradas. La función lógica de cada celda se compone de multiplicar (Y) la expresión lógica de la fila y la columna en la que se encuentra. Por ejemplo, ABCD coincide con la tercera fila (AB) y la tercera columna (CD).
La simplificación se realiza de la misma manera que se describe para el problema por entrada. Intentamos encontrar grupos de dos, cuatro y ocho celdas vecinas que compartan la misma variable o variables. Estas variables luego definen la función lógica del grupo. Figura 5 muestra algunos ejemplos, y sus funciones lógicas son las siguientes.
una. Las cuatro celdas encerradas en un círculo son independientes entre sí y no se pueden agrupar. Así que la salida es la suma de los cuatro.
[Z=overline{A}overline{B}overline{C}overline{D}+overline{A}overline{B}CD+overline{A}Boverline{C}D+overline{A}overline{B}Coverline{D}]
Figura 4 K-map para un problema de cuatro entradas.
Figura 5 Ejemplos de K-maps de cuatro entradas.
b. Hay tres grupos, parte de las columnas 1 y 4, el círculo único y los dos del medio.
[Z=overline{A}overline{D}+ABD+overline{A}overline{B}overline{C}D]
contra La función de una fila o columna siempre es la función escrita delante de la fila o en la parte superior de la columna. Asi que,
[Z=overline{A}overline{B}+AB]
D. Las cuatro esquinas se pueden agrupar. $overline{B}$ y $overline{D}$ son las únicas dos variables que no cambian. $overline{A}forline{B}forline{C}D$ es la celda individual.
[Ztext{ }=overline{B}overline{D}text{ }+overline{A}overline{B}overline{C}D]
mi. Un grupo de cuatro y un par se pueden identificar aquí.
[Z=Boverline{C}+BCD]
F. Hay dos grupos independientes. En el grupo superior, el cambio de B y D no juega ningún papel; en el inferior, de nuevo, hay un cambio en B y D sin efecto. Por lo tanto,
$Z=overline{A}overline{C}+AC$
gramo. Este caso es similar al caso c excepto que los dos grupos comparten una celda, pero esto no afecta el resultado.
[Z=overline{A}overline{B}+overline{C}overline{D}]
H. La respuesta se basa en los tres pares de celdas que forman tres grupos.
[Z=overline{B}overline{C}overline{D}+Boverline{C}D+overline{B}CD]
No te preocupes por las admisiones
Las entradas en el mapa K no siempre son 1 y 0. El requisito de la aplicación determina qué celdas deben contener 1s. Algunas celdas deben contener 0 como requisito, pero también puede ocurrir para algunas celdas, cuyo contenido no está definido o cuyo valor es irrelevante. En tal caso, no importa si a la celda se le asigna un valor de 1 o 0. En un caso como este, se ingresa X en la celda en lugar de 1 o 0. Se muestra un ejemplo en Imagen 6a. Estas celdas se llaman "no importa".
Figura 6 Beneficiándose de entradas indiferentes. (a) Todas las X se consideran 0 y no se muestran en la salida. (b) Para el grupo 1, algunas X se consideran 1.
Las entradas "indiferentes" se pueden utilizar para simplificar la función lógica. Este beneficio no está disponible en un ejemplo Imagen 6a. Por el contrario, en el presente ejemplo i Figura 6bla función lógica se puede simplificar un poco si se supone que algunas de estas celdas "X" contienen 1. Una opción, basada en los grupos encerrados en un círculo como se muestra y de acuerdo con la definición de celda i Figura 4sí
[Z=overline{B}D+BC]
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